Algebra Beispiele

$x^{2} + 3 > y$

Schritt 1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} > y - 3$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{y - 3}$

Schritt 3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > \sqrt{y - 3}$

Schritt 4

Schreibe $| x | > \sqrt{y - 3}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x > \sqrt{y - 3}$

Schritt 4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $x > \sqrt{y - 3}$ und ermittle die Schnittmenge mit $x \geq 0$ .

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Schritt 4.3.1

Bestimme den Definitionsbereich von $x > \sqrt{y - 3}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{y - 3}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y - 3 \geq 0$

Schritt 4.3.1.2

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$y \geq 3$

Schritt 4.3.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[3, \infty)$

Schritt 4.3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 0$ und $[3, \infty)$ .

$x \geq 3$

Schritt 4.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 4.5

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x > \sqrt{y - 3}$

Schritt 4.6

Bestimme den Definitionsbereich von $- x > \sqrt{y - 3}$ und ermittle die Schnittmenge mit $x < 0$ .

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Schritt 4.6.1

Bestimme den Definitionsbereich von $- x > \sqrt{y - 3}$ .

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Schritt 4.6.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{y - 3}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$y - 3 \geq 0$

Schritt 4.6.1.2

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$y \geq 3$

Schritt 4.6.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[3, \infty)$

Schritt 4.6.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < 0$ und $[3, \infty)$ .

$Keine Lösung$

Schritt 4.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x > \sqrt{y - 3} & x \geq 3 \end{cases}$

Schritt 5

Löse $x > \sqrt{y - 3}$ , wenn $x \geq 3$ ergibt.

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Schritt 5.1

Löse $x > \sqrt{y - 3}$ nach $y$ auf.

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Schritt 5.1.1

Stelle so um, dass $y$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$\sqrt{y - 3} < x$

Schritt 5.1.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{y - 3}}^{2} < x^{2}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 5.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y - 3}$ als ${(y - 3)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < x^{2}$

Schritt 5.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.3.2.1

Vereinfache ${({(y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < x^{2}$

Schritt 5.1.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < x^{2}$

Schritt 5.1.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y - 3)}^{1} < x^{2}$

Schritt 5.1.3.2.1.2

Vereinfache.

$y - 3 < x^{2}$

Schritt 5.1.4

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$y < x^{2} + 3$

Schritt 5.2

Bestimme die Schnittmenge von $y < x^{2} + 3$ und $x \geq 3$ .

$3 \leq x < x^{2} + 3$

Schritt 6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$3 \leq x < x^{2} + 3$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$3 \leq x < x^{2} + 3$

Intervallschreibweise:

$[3, x^{2} + 3)$

Schritt 8