Algebra Beispiele

$f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ als Gleichung.

$y = 500 (0.04 - x^{2})$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 500 (0.04 - y^{2})$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $500 (0.04 - y^{2}) = x$ um.

$500 (0.04 - y^{2}) = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $500 (0.04 - y^{2}) = x$ durch $500$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $500 (0.04 - y^{2}) = x$ durch $500$ .

$\frac{500 (0.04 - y^{2})}{500} = \frac{x}{500}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $500$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{500 (0.04 - y^{2})}{500} = \frac{x}{500}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $0.04 - y^{2}$ durch $1$ .

$0.04 - y^{2} = \frac{x}{500}$

Schritt 3.3

Subtrahiere $0.04$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{x}{500}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot \frac{x}{500} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Schritt 3.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{x}{500}$ als $- \frac{x}{500}$ um.

$y^{2} = - \frac{x}{500} + \frac{- 0.04}{- 1}$

Schritt 3.4.3.1.3

Dividiere $- 0.04$ durch $- 1$ .

$y^{2} = - \frac{x}{500} + 0.04$

Schritt 3.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04}$

Schritt 3.6

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04}$ .

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Schritt 3.6.1

Um $0.04$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{500}{500}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04 \cdot \frac{500}{500}}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.6.2.1

Kombiniere $0.04$ und $\frac{500}{500}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + \frac{0.04 \cdot 500}{500}}$

Schritt 3.6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 0.04 \cdot 500}{500}}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.3.1

Faktorisiere $0.04$ aus $- x + 0.04 \cdot 500$ heraus.

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Schritt 3.6.3.1.1

Faktorisiere $0.04$ aus $- x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x) + 0.04 \cdot 500}{500}}$

Schritt 3.6.3.1.2

Faktorisiere $0.04$ aus $0.04 \cdot 500$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x) + 0.04 (500)}{500}}$

Schritt 3.6.3.1.3

Faktorisiere $0.04$ aus $0.04 (- 25 x) + 0.04 (500)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x + 500)}{500}}$

Schritt 3.6.3.2

Faktorisiere $25$ aus $- 25 x + 500$ heraus.

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Schritt 3.6.3.2.1

Faktorisiere $25$ aus $- 25 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x) + 500)}{500}}$

Schritt 3.6.3.2.2

Faktorisiere $25$ aus $500$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x) + 25 (20))}{500}}$

Schritt 3.6.3.2.3

Faktorisiere $25$ aus $25 (- x) + 25 (20)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x + 20))}{500}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 \cdot 25 (- x + 20)}{500}}$

Schritt 3.6.3.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.6.3.3.1

Mutltipliziere $0.04$ mit $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1 (- x + 20)}{500}}$

Schritt 3.6.3.3.2

Mutltipliziere $- x + 20$ mit $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 20}{500}}$

Schritt 3.6.4

Schreibe $\frac{- x + 20}{500}$ als ${(\frac{1}{10})}^{2} \frac{- x + 20}{5}$ um.

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Schritt 3.6.4.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $- x + 20$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 20)}{500}}$

Schritt 3.6.4.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $10^{2}$ aus $500$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 20)}{10^{2} \cdot 5}}$

Schritt 3.6.4.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (- x + 20)}{10^{2} \cdot 5}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} \frac{- x + 20}{5}}$

Schritt 3.6.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{10} \sqrt{\frac{- x + 20}{5}}$

Schritt 3.6.6

Schreibe $\sqrt{\frac{- x + 20}{5}}$ als $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ um.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$

Schritt 3.6.7

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} (\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Schritt 3.6.8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.6.8.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 3.6.8.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 3.6.8.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 3.6.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.6.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 3.6.8.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 3.6.8.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.6.8.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.6.8.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.6.8.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.6.8.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.6.8.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 3.6.8.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 3.6.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$

Schritt 3.6.10

Multipliziere $\frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$ .

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Schritt 3.6.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{10}$ mit $\frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{10 \cdot 5}$

Schritt 3.6.10.2

Mutltipliziere $10$ mit $5$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{50}$

Schritt 3.6.11

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{50}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Schritt 3.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Schritt 3.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Schritt 3.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ und $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 20]$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{5 (- x + 20)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 (- x + 20) \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 (- x + 20) \geq 0$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $5 (- x + 20) \geq 0$ durch $5$ .

$\frac{5 (- x + 20)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Schritt 5.3.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (- x + 20)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Schritt 5.3.2.1.2.1.2

Dividiere $- x + 20$ durch $1$ .

$- x + 20 \geq \frac{0}{5}$

Schritt 5.3.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $5$ .

$- x + 20 \geq 0$

Schritt 5.3.2.2

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x \geq - 20$

Schritt 5.3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq - 20$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.3.1

Teile jeden Term in $- x \geq - 20$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 20}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 20}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 20}{- 1}$

Schritt 5.3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.3.3.1

Dividiere $- 20$ durch $- 1$ .

$x \leq 20$

Schritt 5.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 20]$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ keine inverse Funktion von $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6