Algebra Beispiele

$\sqrt{11 - 2 x} = \sqrt{x^{2} + 4 x + 4}$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{11 - 2 x}}^{2} = {\sqrt{x^{2} + 4 x + 4}}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11 - 2 x}$ als ${(11 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(11 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{x^{2} + 4 x + 4}}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(11 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(11 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(11 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{x^{2} + 4 x + 4}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(11 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{x^{2} + 4 x + 4}}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(11 - 2 x)}^{1} = {\sqrt{x^{2} + 4 x + 4}}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$11 - 2 x = {\sqrt{x^{2} + 4 x + 4}}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${\sqrt{x^{2} + 4 x + 4}}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.3.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$11 - 2 x = {\sqrt{x^{2} + 4 x + 2^{2}}}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 2.3.1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$11 - 2 x = {\sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}}^{2}$

Schritt 2.3.1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$11 - 2 x = {\sqrt{{(x + 2)}^{2}}}^{2}$

Schritt 2.3.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$11 - 2 x = {(x + 2)}^{2}$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$11 - 2 x = (x + 2) (x + 2)$

Schritt 2.3.1.4

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$11 - 2 x = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Schritt 2.3.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$11 - 2 x = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Schritt 2.3.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$11 - 2 x = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$11 - 2 x = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.5.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$11 - 2 x = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Schritt 2.3.1.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$11 - 2 x = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Schritt 2.3.1.5.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$11 - 2 x = x^{2} + 4 x + 4$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$x^{2} + 4 x + 4 = 11 - 2 x$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x + 4 + 2 x = 11$

Schritt 3.2.2

Addiere $4 x$ und $2 x$ .

$x^{2} + 6 x + 4 = 11$

Schritt 3.3

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 6 x + 4 - 11 = 0$

Schritt 3.4

Subtrahiere $11$ von $4$ .

$x^{2} + 6 x - 7 = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $x^{2} + 6 x - 7$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 7$ und deren Summe $6$ ist.

$- 1, 7$

Schritt 3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 1) (x + 7) = 0$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

Schritt 3.7

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.7.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 3.7.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 3.8

Setze $x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $x + 7$ gleich $0$ .

$x + 7 = 0$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x + 7) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 7$