Algebra Beispiele

$f (x) = {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$ als Gleichung.

$y = {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}} = x$ um.

${(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}} = x$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $7$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{7} = x^{7}$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${({(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = x^{7}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = x^{7}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{y^{5}}{10})}^{1} = x^{7}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache.

$\frac{y^{5}}{10} = x^{7}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $10$ .

$10 \frac{y^{5}}{10} = 10 x^{7}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 \frac{y^{5}}{10} = 10 x^{7}$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{5} = 10 x^{7}$

Schritt 3.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[5]{10 x^{7}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache $\sqrt[5]{10 x^{7}}$ .

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Schritt 3.4.4.1

Schreibe $10 x^{7}$ als $x^{5} \cdot (10 x^{2})$ um.

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Schritt 3.4.4.1.1

Faktorisiere $x^{5}$ aus.

$y = \sqrt[5]{10 (x^{5} x^{2})}$

Schritt 3.4.4.1.2

Stelle $10$ und $x^{5}$ um.

$y = \sqrt[5]{x^{5} \cdot 10 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \sqrt[5]{x^{5} \cdot (10 x^{2})}$

Schritt 3.4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = x \sqrt[5]{10 x^{2}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x \sqrt[5]{10 x^{2}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x \sqrt[5]{10 x^{2}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) \sqrt[5]{10 {({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Schritt 5.2.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{5}}{10}$ an.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{{(x^{5})}^{\frac{1}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 {({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{5 (\frac{1}{7})}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 {({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{7}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 {({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

Schritt 5.2.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7} \cdot 2}}$

Schritt 5.2.3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{2}{7}}}$

Schritt 5.2.3.4

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{5}}{10}$ an.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 (\frac{{(x^{5})}^{\frac{2}{7}}}{10^{\frac{2}{7}}})}$

Schritt 5.2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{\frac{2}{7}}$ .

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Schritt 5.2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 (\frac{x^{5 (\frac{2}{7})}}{10^{\frac{2}{7}}})}$

Schritt 5.2.3.5.2

Multipliziere $5 (\frac{2}{7})$ .

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Schritt 5.2.3.5.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{7}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 (\frac{x^{\frac{5 \cdot 2}{7}}}{10^{\frac{2}{7}}})}$

Schritt 5.2.3.5.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 (\frac{x^{\frac{10}{7}}}{10^{\frac{2}{7}}})}$

Schritt 5.2.4

Kombiniere $10$ und $\frac{x^{\frac{10}{7}}}{10^{\frac{2}{7}}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{\frac{10 x^{\frac{10}{7}}}{10^{\frac{2}{7}}}}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.1

Bringe $10^{\frac{2}{7}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 x^{\frac{10}{7}} \cdot 10^{- \frac{2}{7}}}$

Schritt 5.2.5.2

Multipliziere $10$ mit $10^{- \frac{2}{7}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.5.2.1

Bewege $10^{- \frac{2}{7}}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{- \frac{2}{7}} \cdot (10 x^{\frac{10}{7}})}$

Schritt 5.2.5.2.2

Mutltipliziere $10^{- \frac{2}{7}}$ mit $10$ .

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Schritt 5.2.5.2.2.1

Potenziere $10$ mit $1$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{- \frac{2}{7}} \cdot (10 x^{\frac{10}{7}})}$

Schritt 5.2.5.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{- \frac{2}{7} + 1} x^{\frac{10}{7}}}$

Schritt 5.2.5.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{- \frac{2}{7} + \frac{7}{7}} x^{\frac{10}{7}}}$

Schritt 5.2.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{\frac{- 2 + 7}{7}} x^{\frac{10}{7}}}$

Schritt 5.2.5.2.5

Addiere $- 2$ und $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{\frac{5}{7}} x^{\frac{10}{7}}}$

Schritt 5.2.6

Schreibe $10^{\frac{5}{7}} x^{\frac{10}{7}}$ als ${(10^{\frac{1}{7}} x^{\frac{2}{7}})}^{5}$ um.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{{(10^{\frac{1}{7}} x^{\frac{2}{7}})}^{5}}$

Schritt 5.2.7

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot (10^{\frac{1}{7}} x^{\frac{2}{7}})$

Schritt 5.2.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = 10^{\frac{1}{7}} (\frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}}) \cdot x^{\frac{2}{7}}$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10^{\frac{1}{7}}$ .

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Schritt 5.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = 10^{\frac{1}{7}} (\frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}}) \cdot x^{\frac{2}{7}}$

Schritt 5.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = x^{\frac{5}{7}} x^{\frac{2}{7}}$

Schritt 5.2.10

Multipliziere $x^{\frac{5}{7}}$ mit $x^{\frac{2}{7}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.10.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = x^{\frac{5}{7} + \frac{2}{7}}$

Schritt 5.2.10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = x^{\frac{5 + 2}{7}}$

Schritt 5.2.10.3

Addiere $5$ und $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = x^{\frac{7}{7}}$

Schritt 5.2.10.4

Dividiere $7$ durch $7$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x \sqrt[5]{10 x^{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{{(x \sqrt[5]{10 x^{2}})}^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $x \sqrt[5]{10 x^{2}}$ an.

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} {\sqrt[5]{10 x^{2}}}^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe ${\sqrt[5]{10 x^{2}}}^{5}$ als $10 x^{2}$ um.

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Schritt 5.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{10 x^{2}}$ als ${(10 x^{2})}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} {({(10 x^{2})}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} {(10 x^{2})}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} {(10 x^{2})}^{\frac{5}{5}}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} {(10 x^{2})}^{\frac{5}{5}}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} (10 x^{2})}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.3.2.5

Vereinfache.

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} (10 x^{2})}{10})}^{\frac{1}{7}}$

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} \cdot (10 x^{2})}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.3.3

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.3.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{2} x^{5} \cdot 10}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{2 + 5} \cdot 10}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.3.3.3

Addiere $2$ und $5$ .

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{7} \cdot 10}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{7} \cdot 10}{10})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.4.1.2

Dividiere $x^{7}$ durch $1$ .

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$

Schritt 5.3.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Schritt 5.3.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = x^{7 (\frac{1}{7})}$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = x^{7 (\frac{1}{7})}$

Schritt 5.3.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x \sqrt[5]{10 x^{2}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} (x) = x \sqrt[5]{10 x^{2}}$