Algebra Beispiele

$y = \sqrt{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \sqrt{x^{2} - 9}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{x^{2} - 9} = 0$ um.

$\sqrt{x^{2} - 9} = 0$

Schritt 1.2.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x^{2} - 9}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - 9}$ als ${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} - 9)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} - 9 = 0^{2}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Schritt 1.2.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 9$

Schritt 1.2.4.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{9}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache $\pm \sqrt{9}$ .

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Schritt 1.2.4.3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Schritt 1.2.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 3$

Schritt 1.2.4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3$

Schritt 1.2.4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3$

Schritt 1.2.4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3, - 3$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(3, 0), (- 3, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \sqrt{{(0)}^{2} - 9}$

Schritt 2.2

Vereinfache $\sqrt{{(0)}^{2} - 9}$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \sqrt{0 - 9}$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$y = \sqrt{- 9}$

Schritt 2.2.2

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$y = \sqrt{- 1 (9)}$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1 (9)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ um.

$y = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = i \cdot \sqrt{9}$

Schritt 2.2.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Schritt 2.2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = i \cdot 3$

Schritt 2.2.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = 3 i$

Schritt 2.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(3, 0), (- 3, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $Keine$

Schritt 4