Algebra Beispiele

$2 - | \frac{2}{5} x + 3 | > \frac{3}{5}$

Schritt 1

Schreibe $2 - | \frac{2}{5} x + 3 | > \frac{3}{5}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$\frac{2}{5} x + 3 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{5} + 3 \geq 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{2 x}{5} \geq - 3$

Schritt 1.2.3

Multipliziere beide Seiten mit $5$ .

$\frac{2 x}{5} \cdot 5 \geq - 3 \cdot 5$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{5} \cdot 5 \geq - 3 \cdot 5$

Schritt 1.2.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x \geq - 3 \cdot 5$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$2 x \geq - 15$

Schritt 1.2.5

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq - 15$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq - 15$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 15}{2}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 15}{2}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 15}{2}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{15}{2}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $\frac{2}{5} x + 3$ nicht negativ ist.

$2 - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5}$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$\frac{2}{5} x + 3 < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{5} + 3 < 0$

Schritt 1.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{2 x}{5} < - 3$

Schritt 1.5.3

Multipliziere beide Seiten mit $5$ .

$\frac{2 x}{5} \cdot 5 < - 3 \cdot 5$

Schritt 1.5.4

Vereinfache.

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Schritt 1.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{5} \cdot 5 < - 3 \cdot 5$

Schritt 1.5.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 x < - 3 \cdot 5$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$2 x < - 15$

Schritt 1.5.5

Teile jeden Ausdruck in $2 x < - 15$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x < - 15$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 15}{2}$

Schritt 1.5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} < \frac{- 15}{2}$

Schritt 1.5.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 15}{2}$

Schritt 1.5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x < - \frac{15}{2}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $\frac{2}{5} x + 3$ negativ ist.

$2 - - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5}$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} 2 - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $2 - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5}$ .

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Schritt 1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.1.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x$ .

${\begin{cases} 2 - (\frac{2 x}{5} + 3) > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} 2 - \frac{2 x}{5} - 1 \cdot 3 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

${\begin{cases} 2 - \frac{2 x}{5} - 3 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9

Vereinfache $2 - - (\frac{2}{5} x + 3) > \frac{3}{5}$ .

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Schritt 1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.1.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $x$ .

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - - (\frac{2 x}{5} + 3) > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - (- \frac{2 x}{5} - 1 \cdot 3) > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - (- \frac{2 x}{5} - 3) > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 - - \frac{2 x}{5} - - 3 > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.5

Multipliziere $- - \frac{2 x}{5}$ .

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Schritt 1.9.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 + 1 \frac{2 x}{5} - - 3 > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{2 x}{5}$ mit $1$ .

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 + \frac{2 x}{5} - - 3 > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ 2 + \frac{2 x}{5} + 3 > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Schritt 1.9.2

Addiere $2$ und $3$ .

${\begin{cases} - \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5} & x \geq - \frac{15}{2} \\ \frac{2 x}{5} + 5 > \frac{3}{5} & x < - \frac{15}{2} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $- \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5}$ , wenn $x \geq - \frac{15}{2}$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $- \frac{2 x}{5} - 1 > \frac{3}{5}$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1.1

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{2 x}{5} > \frac{3}{5} + 1$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2 x}{5} > \frac{3}{5} + \frac{5}{5}$

Schritt 2.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2 x}{5} > \frac{3 + 5}{5}$

Schritt 2.1.1.4

Addiere $3$ und $5$ .

$- \frac{2 x}{5} > \frac{8}{5}$

Schritt 2.1.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$- 2 x > 8$

Schritt 2.1.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x > 8$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Teile jeden Term in $- 2 x > 8$ durch $- 2$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 2 x}{- 2} < \frac{8}{- 2}$

Schritt 2.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} < \frac{8}{- 2}$

Schritt 2.1.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{8}{- 2}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.3.1

Dividiere $8$ durch $- 2$ .

$x < - 4$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < - 4$ und $x \geq - \frac{15}{2}$ .

$- \frac{15}{2} \leq x < - 4$

Schritt 3

Löse $\frac{2 x}{5} + 5 > \frac{3}{5}$ , wenn $x < - \frac{15}{2}$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $\frac{2 x}{5} + 5 > \frac{3}{5}$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{2 x}{5} > \frac{3}{5} - 5$

Schritt 3.1.1.2

Um $- 5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 x}{5} > \frac{3}{5} - 5 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.1.1.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 x}{5} > \frac{3}{5} + \frac{- 5 \cdot 5}{5}$

Schritt 3.1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x}{5} > \frac{3 - 5 \cdot 5}{5}$

Schritt 3.1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1.5.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $5$ .

$\frac{2 x}{5} > \frac{3 - 25}{5}$

Schritt 3.1.1.5.2

Subtrahiere $25$ von $3$ .

$\frac{2 x}{5} > \frac{- 22}{5}$

Schritt 3.1.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 x}{5} > - \frac{22}{5}$

Schritt 3.1.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$2 x > - 22$

Schritt 3.1.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x > - 22$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x > - 22$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{- 22}{2}$

Schritt 3.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} > \frac{- 22}{2}$

Schritt 3.1.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- 22}{2}$

Schritt 3.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.3.1

Dividiere $- 22$ durch $2$ .

$x > - 11$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > - 11$ und $x < - \frac{15}{2}$ .

$- 11 < x < - \frac{15}{2}$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 11 < x < - 4$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 11 < x < - 4$

Intervallschreibweise:

$(- 11, - 4)$

Schritt 6