Algebra Beispiele

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$ $y - x + 1 = 0$

Schritt 1

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $3 x^{2} - 6 x + 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Ersetze alle $y$ in $y - x + 1 = 0$ durch $3 x^{2} - 6 x + 1$ .

$(3 x^{2} - 6 x + 1) - x + 1 = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $(3 x^{2} - 6 x + 1) - x + 1$ .

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Schritt 1.2.1.1

Subtrahiere $x$ von $- 6 x$ .

$3 x^{2} - 7 x + 1 + 1 = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $1$ und $1$ .

$3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

$3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

$3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

$3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 2

Löse in $3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 x$ heraus.

$3 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $- 7$ um als $- 1$ plus $- 6$

$3 x^{2} + (- 1 - 6) x + 2 = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} - 1 x - 6 x + 2 = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

$3 x^{2} - 1 x - 6 x + 2 = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{2} - 1 x) - 6 x + 2 = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (3 x - 1) - 2 (3 x - 1) = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

$x (3 x - 1) - 2 (3 x - 1) = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 2) = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

$(3 x - 1) (x - 2) = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 2.3

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $3 x - 1$ gleich $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 2.3.2

Löse $3 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 1$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 1$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

$x = \frac{1}{3}$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

$x = \frac{1}{3}$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

$x = \frac{1}{3}$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

$x = \frac{1}{3}$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

$x = \frac{1}{3}$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 2.4

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 2.4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

$x = 2$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 1) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1}{3}, 2$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

$x = \frac{1}{3}, 2$

$y = 3 x^{2} - 6 x + 1$

Schritt 3

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{1}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1

Ersetze alle $x$ in $y = 3 x^{2} - 6 x + 1$ durch $\frac{1}{3}$ .

$y = 3 {(\frac{1}{3})}^{2} - 6 (\frac{1}{3}) + 1$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $3 {(\frac{1}{3})}^{2} - 6 (\frac{1}{3}) + 1$ .

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$y = 3 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - 6 (\frac{1}{3}) + 1$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 3 (\frac{1}{3^{2}}) - 6 (\frac{1}{3}) + 1$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = 3 (\frac{1}{9}) - 6 (\frac{1}{3}) + 1$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$y = 3 (\frac{1}{3 (3)}) - 6 (\frac{1}{3}) + 1$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) - 6 (\frac{1}{3}) + 1$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{3} - 6 (\frac{1}{3}) + 1$

$x = \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3} - 6 (\frac{1}{3}) + 1$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$y = \frac{1}{3} + 3 (- 2) (\frac{1}{3}) + 1$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{3} + 3 \cdot (- 2 (\frac{1}{3})) + 1$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{3} - 2 + 1$

$x = \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3} - 2 + 1$

$x = \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3} - 2 + 1$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.1.2.1

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} + 1$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + 1$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.2.4

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 3}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$y = \frac{1 - 6 + 3}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.4.2

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$y = \frac{- 5 + 3}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.4.3

Addiere $- 5$ und $3$ .

$y = \frac{- 2}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.1.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{2}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

$y = - \frac{2}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

$y = - \frac{2}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

$y = - \frac{2}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

$y = - \frac{2}{3}$

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = 3 x^{2} - 6 x + 1$ durch $2$ .

$y = 3 {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 1$

$x = 2$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $3 {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 1$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 3 \cdot 4 - 6 \cdot 2 + 1$

$x = 2$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$y = 12 - 6 \cdot 2 + 1$

$x = 2$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$y = 12 - 12 + 1$

$x = 2$

$y = 12 - 12 + 1$

$x = 2$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1.2.1

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$y = 0 + 1$

$x = 2$

Schritt 4.2.1.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$y = 1$

$x = 2$

$y = 1$

$x = 2$

$y = 1$

$x = 2$

$y = 1$

$x = 2$

$y = 1$

$x = 2$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\frac{1}{3}, - \frac{2}{3})$

$(2, 1)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\frac{1}{3}, - \frac{2}{3}), (2, 1)$

Gleichungsform:

$x = \frac{1}{3}, y = - \frac{2}{3}$

$x = 2, y = 1$

Schritt 7