Algebra Beispiele

$\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}} > \frac{5}{x}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$(\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}}) x = \frac{5}{x} x$

Schritt 2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Vereinfache $(\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}}) x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} x + \frac{12}{x^{2}} x = \frac{5}{x} x$

Schritt 2.1.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x^{2}} x = \frac{5}{x} x$

Schritt 2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x \cdot x} x = \frac{5}{x} x$

Schritt 2.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x \cdot x} x = \frac{5}{x} x$

Schritt 2.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = \frac{5}{x} x$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = \frac{5}{x} x$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2, x, 1$

Schritt 3.1.2

Da $2, x, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $2, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{1}$ .

Schritt 3.1.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 3.1.4

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 3.1.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 3.1.6

Das kgV von $2, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2$

Schritt 3.1.7

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 3.1.8

Das kgV von $x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x$

Schritt 3.1.9

Das kgV von $2, x, 1$ ist der numerische Teil $2$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$2 x$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$ mit $2 x$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{2} + \frac{12}{x} = 5$ mit $2 x$ .

$\frac{x}{2} (2 x) + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{x}{2} x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x \cdot x + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Schritt 3.2.2.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + \frac{12}{x} (2 x) = 5 (2 x)$

Schritt 3.2.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} + 2 \frac{12}{x} x = 5 (2 x)$

Schritt 3.2.2.1.5

Multipliziere $2 \frac{12}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{12}{x}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot 12}{x} x = 5 (2 x)$

Schritt 3.2.2.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$x^{2} + \frac{24}{x} x = 5 (2 x)$

Schritt 3.2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{24}{x} x = 5 (2 x)$

Schritt 3.2.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 24 = 5 (2 x)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x^{2} + 24 = 10 x$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Subtrahiere $10 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 24 - 10 x = 0$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $x^{2} + 24 - 10 x$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $24$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 6, - 4$

Schritt 3.3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x - 4) = 0$

Schritt 3.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 3.3.4

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.4.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 3.3.4.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 3.3.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 3.3.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 3.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 6, 4$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{1}{2} + \frac{12}{x^{2}} - \frac{5}{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{12}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(- 2)}^{2}} > \frac{5}{- 2}$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $3.5$ ist größer als die rechte Seite $- 2.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(2)}^{2}} > \frac{5}{2}$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $3.5$ ist größer als die rechte Seite $2.5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $4 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $4 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(5)}^{2}} > \frac{5}{5}$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $0.98$ ist nicht größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 6.4.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{2} + \frac{12}{{(8)}^{2}} > \frac{5}{8}$

Schritt 6.4.3

Die linke Seite $0.6875$ ist größer als die rechte Seite $0.625$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 4$ Wahr

$4 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

$x < 0$ Wahr

$0 < x < 4$ Wahr

$4 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 0$ oder $0 < x < 4$ oder $x > 6$

Schritt 8

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (6, \infty)$

Schritt 9