Algebra Beispiele

$8 x^{6} + 7 x^{3} - 1$

Schritt 1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

$8 {(x^{3})}^{2} + 7 x^{3} - 1$

Schritt 2

Es sei $u = x^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{3}$ .

$8 u^{2} + 7 u - 1$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 8 \cdot - 1 = - 8$ und deren Summe gleich $b = 7$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 u$ heraus.

$8 u^{2} + 7 (u) - 1$

Schritt 3.1.2

Schreibe $7$ um als $- 1$ plus $8$

$8 u^{2} + (- 1 + 8) u - 1$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 u^{2} - 1 u + 8 u - 1$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(8 u^{2} - 1 u) + 8 u - 1$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (8 u - 1) + 1 (8 u - 1)$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $8 u - 1$ .

$(8 u - 1) (u + 1)$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$(8 x^{3} - 1) (x^{3} + 1)$

Schritt 5

Schreibe $8 x^{3}$ als ${(2 x)}^{3}$ um.

$({(2 x)}^{3} - 1) (x^{3} + 1)$

Schritt 6

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$({(2 x)}^{3} - 1^{3}) (x^{3} + 1)$

Schritt 7

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$(2 x - 1) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{3} + 1)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$(2 x - 1) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{3} + 1)$

Schritt 8.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{3} + 1)$

Schritt 8.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1^{2}) (x^{3} + 1)$

Schritt 8.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) (x^{3} + 1)$

Schritt 9

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) (x^{3} + 1^{3})$

Schritt 10

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 11

Faktorisiere.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))$

Schritt 11.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) ((x + 1) (x^{2} - x + 1))$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$