Algebra Beispiele

$\frac{\frac{x^{3} + 2^{3}}{x^{2} - 2 x}}{\frac{{(x + 2)}^{3}}{x^{2} + 4 x + 4}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{x^{3} + 2^{3}}{x^{2} - 2 x} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 4}{{(x + 2)}^{3}}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{2} - 2 x} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 4}{{(x + 2)}^{3}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}{x^{2} - 2 x} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 4}{{(x + 2)}^{3}}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{2} - 2 x} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 4}{{(x + 2)}^{3}}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 x$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x \cdot x - 2 x} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 4}{{(x + 2)}^{3}}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x \cdot x + x \cdot - 2} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 4}{{(x + 2)}^{3}}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 2$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x (x - 2)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 4}{{(x + 2)}^{3}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x + 2$ aus ${(x + 2)}^{3}$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x (x - 2)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 4}{(x + 2) {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x (x - 2)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 4}{(x + 2) {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} - 2 x + 4}{x (x - 2)} \cdot \frac{x^{2} + 4 x + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{x^{2} - 2 x + 4}{x (x - 2)}$ mit $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 4) (x^{2} + 4 x + 4)}{x (x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(x^{2} - 2 x + 4) (x^{2} + 4 x + 2^{2})}{x (x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 4.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(x^{2} - 2 x + 4) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})}{x (x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 2 x + 4) {(x + 2)}^{2}}{x (x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - 2 x + 4) {(x + 2)}^{2}}{x (x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Schritt 5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} - 2 x + 4}{x (x - 2)}$