Algebra Beispiele

$12^{3 x + 4} \leq 2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Ungleichung.

$\ln (12^{3 x + 4}) \leq \ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$

Schritt 2

Zerlege $\ln (12^{3 x + 4})$ durch Herausziehen von $3 x + 4$ aus dem Logarithmus.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq \ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$ als $\ln (2^{5 x + 3}) + \ln (3^{2 x - 1})$ um.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq \ln (2^{5 x + 3}) + \ln (3^{2 x - 1})$

Schritt 4

Zerlege $\ln (2^{5 x + 3})$ durch Herausziehen von $5 x + 3$ aus dem Logarithmus.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + \ln (3^{2 x - 1})$

Schritt 5

Zerlege $\ln (3^{2 x - 1})$ durch Herausziehen von $2 x - 1$ aus dem Logarithmus.

$(3 x + 4) \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Schritt 6

Löse die Ungleichung für $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Vereinfache $(3 x + 4) \ln (12)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x \ln (12) + 4 \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Schritt 6.1.1.2

Vereinfache $3 \ln (12)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (12^{3}) + 4 \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Schritt 6.1.1.3

Vereinfache $4 \ln (12)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (12^{3}) + \ln (12^{4}) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Schritt 6.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1.4.1

Potenziere $12$ mit $3$ .

$x \ln (1728) + \ln (12^{4}) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Schritt 6.1.1.4.2

Potenziere $12$ mit $4$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache $(5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq 5 x \ln (2) + 3 \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Schritt 6.2.1.1.2

Vereinfache $5 \ln (2)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (2^{5}) + 3 \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

Schritt 6.2.1.1.3

Vereinfache $3 \ln (2)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (2^{5}) + \ln (2^{3}) + (2 x - 1) \ln (3)$

Schritt 6.2.1.1.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1.4.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (2^{3}) + (2 x - 1) \ln (3)$

Schritt 6.2.1.1.4.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + (2 x - 1) \ln (3)$

Schritt 6.2.1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + 2 x \ln (3) - 1 \ln (3)$

Schritt 6.2.1.1.6

Vereinfache $2 \ln (3)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (3^{2}) - 1 \ln (3)$

Schritt 6.2.1.1.7

Schreibe $- 1 \ln (3)$ als $- \ln (3)$ um.

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (3^{2}) - \ln (3)$

Schritt 6.2.1.1.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (9) - \ln (3)$

Schritt 6.2.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + x \ln (9) + \ln (\frac{8}{3})$

Schritt 6.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (1728) + \ln (20736) - x \ln (32) - x \ln (9) - \ln (\frac{8}{3}) = 0$

Schritt 6.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (\frac{20736}{\frac{8}{3}}) = 0$

Schritt 6.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (20736 (\frac{3}{8})) = 0$

Schritt 6.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.1

Faktorisiere $8$ aus $20736$ heraus.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (8 (2592) (\frac{3}{8})) = 0$

Schritt 6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (8 \cdot (2592 (\frac{3}{8}))) = 0$

Schritt 6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (2592 \cdot 3) = 0$

Schritt 6.5.3

Mutltipliziere $2592$ mit $3$ .

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (7776) = 0$

Schritt 6.6

Subtrahiere $\ln (7776)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Schritt 6.7

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x \ln (1728)$ heraus.

$x (\ln (1728)) - x \ln (32) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Schritt 6.7.2

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (32)$ heraus.

$x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32)) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

Schritt 6.7.3

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (9)$ heraus.

$x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Schritt 6.7.4

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32))$ heraus.

$x (\ln (1728) - 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Schritt 6.7.5

Faktorisiere $x$ aus $x (\ln (1728) - 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9))$ heraus.

$x (\ln (1728) - 1 \ln (32) - 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Schritt 6.8

Schreibe $- 1 \ln (32)$ als $- \ln (32)$ um.

$x (\ln (1728) - \ln (32) - 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

Schritt 6.9

Schreibe $- 1 \ln (9)$ als $- \ln (9)$ um.

$x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$

Schritt 6.10

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$ durch $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.10.1

Teile jeden Ausdruck in $x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$ durch $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ .

$\frac{x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9))}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)} = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Schritt 6.10.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9))}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)} = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Schritt 6.10.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Schritt 6.10.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.10.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}]$

Schritt 9