Algebra Beispiele

${(r^{2} + 2)}^{2} + (r^{2} + 2) - 6 = 0$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Vereinfache ${(r^{2} + 2)}^{2} + r^{2} + 2 - 6$ .

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Schritt 1.1.1

Entferne die Klammern.

${(r^{2} + 2)}^{2} + r^{2} + 2 - 6 = 0$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $6$ von $2$ .

${(r^{2} + 2)}^{2} + r^{2} - 4 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(r^{2} + 2)}^{2}$ als $(r^{2} + 2) (r^{2} + 2)$ um.

$(r^{2} + 2) (r^{2} + 2) + r^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.2

Multipliziere $(r^{2} + 2) (r^{2} + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} (r^{2} + 2) + 2 (r^{2} + 2) + r^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} r^{2} + r^{2} \cdot 2 + 2 (r^{2} + 2) + r^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$r^{2} r^{2} + r^{2} \cdot 2 + 2 r^{2} + 2 \cdot 2 + r^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Multipliziere $r^{2}$ mit $r^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r^{2 + 2} + r^{2} \cdot 2 + 2 r^{2} + 2 \cdot 2 + r^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$r^{4} + r^{2} \cdot 2 + 2 r^{2} + 2 \cdot 2 + r^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $r^{2}$ .

$r^{4} + 2 r^{2} + 2 r^{2} + 2 \cdot 2 + r^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$r^{4} + 2 r^{2} + 2 r^{2} + 4 + r^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $2 r^{2}$ und $2 r^{2}$ .

$r^{4} + 4 r^{2} + 4 + r^{2} - 4 = 0$

Schritt 2.4

Addiere $4 r^{2}$ und $r^{2}$ .

$r^{4} + 5 r^{2} + 4 - 4 = 0$

Schritt 2.5

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$r^{4} + 5 r^{2} + 0 = 0$

Schritt 2.6

Addiere $r^{4} + 5 r^{2}$ und $0$ .

$r^{4} + 5 r^{2} = 0$

Schritt 2.7

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{4} + 5 r^{2}$ heraus.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{4}$ heraus.

$r^{2} r^{2} + 5 r^{2} = 0$

Schritt 2.7.2

Faktorisiere $r^{2}$ aus $5 r^{2}$ heraus.

$r^{2} r^{2} + r^{2} \cdot 5 = 0$

Schritt 2.7.3

Faktorisiere $r^{2}$ aus $r^{2} r^{2} + r^{2} \cdot 5$ heraus.

$r^{2} (r^{2} + 5) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$r^{2} = 0$

$r^{2} + 5 = 0$

Schritt 4

Setze $r^{2}$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $r^{2}$ gleich $0$ .

$r^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse $r^{2} = 0$ nach $r$ auf.

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Schritt 4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \pm \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$r = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = \pm 0$

Schritt 4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$r = 0$

Schritt 5

Setze $r^{2} + 5$ gleich $0$ und löse nach $r$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $r^{2} + 5$ gleich $0$ .

$r^{2} + 5 = 0$

Schritt 5.2

Löse $r^{2} + 5 = 0$ nach $r$ auf.

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} = - 5$

Schritt 5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \pm \sqrt{- 5}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$r = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Schritt 5.2.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (5)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ um.

$r = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$r = \pm i \sqrt{5}$

Schritt 5.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$r = i \sqrt{5}$

Schritt 5.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$r = - i \sqrt{5}$

Schritt 5.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $r^{2} (r^{2} + 5) = 0$ wahr machen.

$r = 0, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$