Algebra Beispiele

$y = \sqrt{x} + 8$ , $y \geq 8$

Schritt 1

Schreibe $y = \sqrt{x} + 8$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{x} + 8$

Schritt 2

Ermittele den Wertebereich der gegebenen Funktion.

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Schritt 2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

$[2 \sqrt{2} + 8, \infty)$

Schritt 2.2

Wandle $[2 \sqrt{2} + 8, \infty)$ in eine Ungleichung um.

$y \geq 2 \sqrt{2} + 8$

Schritt 3

Ermittle die Umkehrfunktion.

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Schritt 3.1

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{y} + 8$

Schritt 3.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{y} + 8 = x$ um.

$\sqrt{y} + 8 = x$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{y} = x - 8$

Schritt 3.2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 3.2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 3.2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Vereinfache.

$y = {(x - 8)}^{2}$

Schritt 3.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.3.1

Vereinfache ${(x - 8)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 8)}^{2}$ als $(x - 8) (x - 8)$ um.

$y = (x - 8) (x - 8)$

Schritt 3.2.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 8) (x - 8)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x (x - 8) - 8 (x - 8)$

Schritt 3.2.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8)$

Schritt 3.2.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Schritt 3.2.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8$

Schritt 3.2.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8$

Schritt 3.2.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 8$ .

$y = x^{2} - 8 x - 8 x + 64$

Schritt 3.2.4.3.1.3.2

Subtrahiere $8 x$ von $- 8 x$ .

$y = x^{2} - 16 x + 64$

Schritt 3.3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 16 x + 64$

Schritt 4

Ermittele die Inverse mithilfe des Definitions- und Wertebereichs der ursprünglichen Funktion.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 16 x + 64, x \geq 2 \sqrt{2} + 8$

Schritt 5