Algebra Beispiele

$f (x) = \sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}$ als Gleichung.

$y = \sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[7]{\frac{y^{3}}{7}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[7]{\frac{y^{3}}{7}} = x$ um.

$\sqrt[7]{\frac{y^{3}}{7}} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $7$ . Potenz.

${\sqrt[7]{\frac{y^{3}}{7}}}^{7} = x^{7}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{\frac{y^{3}}{7}}$ als ${(\frac{y^{3}}{7})}^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{y^{3}}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7} = x^{7}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(\frac{y^{3}}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{y^{3}}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{y^{3}}{7})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = x^{7}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{y^{3}}{7})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = x^{7}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{y^{3}}{7})}^{1} = x^{7}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$\frac{y^{3}}{7} = x^{7}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $7$ .

$7 \frac{y^{3}}{7} = 7 x^{7}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$7 \frac{y^{3}}{7} = 7 x^{7}$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 7 x^{7}$

Schritt 3.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{7 x^{7}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache $\sqrt[3]{7 x^{7}}$ .

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Schritt 3.4.4.1

Schreibe $7 x^{7}$ als ${(x^{2})}^{3} \cdot (7 x)$ um.

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Schritt 3.4.4.1.1

Faktorisiere $x^{6}$ aus.

$y = \sqrt[3]{7 (x^{6} x)}$

Schritt 3.4.4.1.2

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{2})}^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{7 ({(x^{2})}^{3} x)}$

Schritt 3.4.4.1.3

Stelle $7$ und ${(x^{2})}^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} \cdot 7 x}$

Schritt 3.4.4.1.4

Füge Klammern hinzu.

$y = \sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} \cdot (7 x)}$

Schritt 3.4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = x^{2} \sqrt[3]{7 x}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{2} \sqrt[3]{7 x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} \sqrt[3]{7 x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = {(\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}^{2} \sqrt[3]{7 (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}$

Schritt 5.2.3

Schreibe $\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}$ als $\frac{\sqrt[7]{x^{3}}}{\sqrt[7]{7}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = {(\frac{\sqrt[7]{x^{3}}}{\sqrt[7]{7}})}^{2} \sqrt[3]{7 (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}$

Schritt 5.2.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[7]{x^{3}}}{\sqrt[7]{7}}$ an.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{{\sqrt[7]{x^{3}}}^{2}}{{\sqrt[7]{7}}^{2}} \cdot \sqrt[3]{7 (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.1

Schreibe ${\sqrt[7]{x^{3}}}^{2}$ als $\sqrt[7]{{(x^{3})}^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{{(x^{3})}^{2}}}{{\sqrt[7]{7}}^{2}} \cdot \sqrt[3]{7 (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}$

Schritt 5.2.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{x^{3 \cdot 2}}}{{\sqrt[7]{7}}^{2}} \cdot \sqrt[3]{7 (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}$

Schritt 5.2.5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{x^{6}}}{{\sqrt[7]{7}}^{2}} \cdot \sqrt[3]{7 (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.6.1

Schreibe ${\sqrt[7]{7}}^{2}$ als $\sqrt[7]{7^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{x^{6}}}{\sqrt[7]{7^{2}}} \cdot \sqrt[3]{7 (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}$

Schritt 5.2.6.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{x^{6}}}{\sqrt[7]{49}} \cdot \sqrt[3]{7 (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}})}$

Schritt 5.2.7

Schreibe $\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}$ als $\frac{\sqrt[7]{x^{3}}}{\sqrt[7]{7}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{x^{6}}}{\sqrt[7]{49}} \cdot \sqrt[3]{7 (\frac{\sqrt[7]{x^{3}}}{\sqrt[7]{7}})}$

Schritt 5.2.8

Kombiniere $7$ und $\frac{\sqrt[7]{x^{3}}}{\sqrt[7]{7}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{x^{6}}}{\sqrt[7]{49}} \cdot \sqrt[3]{\frac{7 \sqrt[7]{x^{3}}}{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.9

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{7 \sqrt[7]{x^{3}}}{\sqrt[7]{7}}}$ als $\frac{\sqrt[3]{7 \sqrt[7]{x^{3}}}}{\sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{x^{6}}}{\sqrt[7]{49}} \cdot \frac{\sqrt[3]{7 \sqrt[7]{x^{3}}}}{\sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.10

Kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{x^{6}} \sqrt[3]{7 \sqrt[7]{x^{3}}}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.11.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $21$ .

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Schritt 5.2.11.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{x^{6}}$ als $x^{\frac{6}{7}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x^{\frac{6}{7}} \sqrt[3]{7 \sqrt[7]{x^{3}}}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.1.2

Schreibe $x^{\frac{6}{7}}$ als $x^{\frac{18}{21}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x^{\frac{18}{21}} \sqrt[3]{7 \sqrt[7]{x^{3}}}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.1.3

Schreibe $x^{\frac{18}{21}}$ als $\sqrt[21]{x^{18}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18}} \sqrt[3]{7 \sqrt[7]{x^{3}}}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.1.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{7 \sqrt[7]{x^{3}}}$ als ${(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18}} {(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.1.5

Schreibe ${(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{\frac{1}{3}}$ als ${(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{\frac{7}{21}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18}} {(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{\frac{7}{21}}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.1.6

Schreibe ${(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{\frac{7}{21}}$ als $\sqrt[21]{{(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{7}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18}} \sqrt[21]{{(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{7}}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} {(7 \sqrt[7]{x^{3}})}^{7}}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.3

Wende die Produktregel auf $7 \sqrt[7]{x^{3}}$ an.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (7^{7} {\sqrt[7]{x^{3}}}^{7})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.4

Potenziere $7$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 {\sqrt[7]{x^{3}}}^{7})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.5

Schreibe ${\sqrt[7]{x^{3}}}^{7}$ als $x^{3}$ um.

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Schritt 5.2.11.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{7}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 {(x^{\frac{3}{7}})}^{7})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 x^{\frac{3}{7} \cdot 7})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.5.3

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 x^{\frac{3 \cdot 7}{7}})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 x^{\frac{21}{7}})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $21$ und $7$ .

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Schritt 5.2.11.5.5.1

Faktorisiere $7$ aus $21$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 x^{\frac{7 \cdot 3}{7}})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.11.5.5.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 x^{\frac{7 \cdot 3}{7 (1)}})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 x^{\frac{7 \cdot 3}{7 \cdot 1}})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 x^{\frac{3}{1}})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.5.5.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{18} \cdot (823543 x^{3})}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.6

Multipliziere $x^{18}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.11.6.1

Bewege $x^{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{3} x^{18} \cdot 823543}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{3 + 18} \cdot 823543}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.11.6.3

Addiere $3$ und $18$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[7]{49} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.12.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $21$ .

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Schritt 5.2.12.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{49}$ als $49^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{49^{\frac{1}{7}} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.12.1.2

Schreibe $49^{\frac{1}{7}}$ als $49^{\frac{3}{21}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{49^{\frac{3}{21}} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.12.1.3

Schreibe $49^{\frac{3}{21}}$ als $\sqrt[21]{49^{3}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{49^{3}} \sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}}$

Schritt 5.2.12.1.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{\sqrt[7]{7}}$ als ${\sqrt[7]{7}}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{49^{3}} {\sqrt[7]{7}}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 5.2.12.1.5

Schreibe ${\sqrt[7]{7}}^{\frac{1}{3}}$ als ${\sqrt[7]{7}}^{\frac{7}{21}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{49^{3}} {\sqrt[7]{7}}^{\frac{7}{21}}}$

Schritt 5.2.12.1.6

Schreibe ${\sqrt[7]{7}}^{\frac{7}{21}}$ als $\sqrt[21]{{\sqrt[7]{7}}^{7}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{49^{3}} \sqrt[21]{{\sqrt[7]{7}}^{7}}}$

Schritt 5.2.12.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{49^{3} {\sqrt[7]{7}}^{7}}}$

Schritt 5.2.12.3

Potenziere $49$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{117649 {\sqrt[7]{7}}^{7}}}$

Schritt 5.2.12.4

Schreibe ${\sqrt[7]{7}}^{7}$ als $7$ um.

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Schritt 5.2.12.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[7]{7}$ als $7^{\frac{1}{7}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{117649 {(7^{\frac{1}{7}})}^{7}}}$

Schritt 5.2.12.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7^{\frac{1}{7} \cdot 7}}}$

Schritt 5.2.12.4.3

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7^{\frac{7}{7}}}}$

Schritt 5.2.12.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.12.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7^{\frac{7}{7}}}}$

Schritt 5.2.12.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7}}$

Schritt 5.2.12.4.5

Berechne den Exponenten.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{\sqrt[21]{x^{21} \cdot 823543}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7}}$

Schritt 5.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.13.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[21]{823543}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7}}$

Schritt 5.2.13.2

Schreibe $823543$ als $7^{7}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[21]{7^{7}}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7}}$

Schritt 5.2.13.3

Schreibe $\sqrt[21]{7^{7}}$ als $\sqrt[3]{\sqrt[7]{7^{7}}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[3]{\sqrt[7]{7^{7}}}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7}}$

Schritt 5.2.13.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[3]{7}}{\sqrt[21]{117649 \cdot 7}}$

Schritt 5.2.14

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.14.1

Mutltipliziere $117649$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[3]{7}}{\sqrt[21]{823543}}$

Schritt 5.2.14.2

Schreibe $823543$ als $7^{7}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[3]{7}}{\sqrt[21]{7^{7}}}$

Schritt 5.2.14.3

Schreibe $\sqrt[21]{7^{7}}$ als $\sqrt[3]{\sqrt[7]{7^{7}}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{\sqrt[7]{7^{7}}}}$

Schritt 5.2.14.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7}}$

Schritt 5.2.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt[3]{7}$ .

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Schritt 5.2.15.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = \frac{x \sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7}}$

Schritt 5.2.15.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{2} \sqrt[3]{7 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{{(x^{2} \sqrt[3]{7 x})}^{3}}{7}}$

Schritt 5.3.3

Wende die Produktregel auf $x^{2} \sqrt[3]{7 x}$ an.

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{{(x^{2})}^{3} {\sqrt[3]{7 x}}^{3}}{7}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 5.3.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{2 \cdot 3} {\sqrt[3]{7 x}}^{3}}{7}}$

Schritt 5.3.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{6} {\sqrt[3]{7 x}}^{3}}{7}}$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe ${\sqrt[3]{7 x}}^{3}$ als $7 x$ um.

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Schritt 5.3.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{7 x}$ als ${(7 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{6} {({(7 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{7}}$

Schritt 5.3.4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{6} {(7 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{7}}$

Schritt 5.3.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{6} {(7 x)}^{\frac{3}{3}}}{7}}$

Schritt 5.3.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{6} {(7 x)}^{\frac{3}{3}}}{7}}$

Schritt 5.3.4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{6} (7 x)}{7}}$

Schritt 5.3.4.2.5

Vereinfache.

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{6} (7 x)}{7}}$

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{x^{6} \cdot (7 x)}{7}}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.3.4.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{7 (x^{6} x)}{7}}$

Schritt 5.3.4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{7 x^{6 + 1}}{7}}$

Schritt 5.3.4.3.3

Addiere $6$ und $1$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{7 x^{7}}{7}}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{\frac{7 x^{7}}{7}}$

Schritt 5.3.5.2

Dividiere $x^{7}$ durch $1$ .

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Schritt 5.3.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (x^{2} \sqrt[3]{7 x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} \sqrt[3]{7 x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[7]{\frac{x^{3}}{7}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} \sqrt[3]{7 x}$