Algebra Beispiele

$\frac{z^{2} + 5 z - 24}{12 z + 132} \cdot \frac{10 z + 110}{- z^{2} + z + 6}$

Schritt 1

Faktorisiere $z^{2} + 5 z - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 24$ und deren Summe $5$ ist.

$- 3, 8$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(z - 3) (z + 8)}{12 z + 132} \cdot \frac{10 z + 110}{- z^{2} + z + 6}$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $12$ aus $12 z + 132$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $12$ aus $12 z$ heraus.

$\frac{(z - 3) (z + 8)}{12 (z) + 132} \cdot \frac{10 z + 110}{- z^{2} + z + 6}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $12$ aus $132$ heraus.

$\frac{(z - 3) (z + 8)}{12 z + 12 \cdot 11} \cdot \frac{10 z + 110}{- z^{2} + z + 6}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $12$ aus $12 z + 12 \cdot 11$ heraus.

$\frac{(z - 3) (z + 8)}{12 (z + 11)} \cdot \frac{10 z + 110}{- z^{2} + z + 6}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $10$ aus $10 z + 110$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $10$ aus $10 z$ heraus.

$\frac{(z - 3) (z + 8)}{12 (z + 11)} \cdot \frac{10 (z) + 110}{- z^{2} + z + 6}$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $10$ aus $110$ heraus.

$\frac{(z - 3) (z + 8)}{12 (z + 11)} \cdot \frac{10 z + 10 \cdot 11}{- z^{2} + z + 6}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $10$ aus $10 z + 10 \cdot 11$ heraus.

$\frac{(z - 3) (z + 8)}{12 (z + 11)} \cdot \frac{10 (z + 11)}{- z^{2} + z + 6}$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 6 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{(z - 3) (z + 8)}{12 (z + 11)} \cdot \frac{10 (z + 11)}{- z^{2} + 1 z + 6}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $1$ um als $- 2$ plus $3$

$\frac{(z - 3) (z + 8)}{12 (z + 11)} \cdot \frac{10 (z + 11)}{- z^{2} + (- 2 + 3) z + 6}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(z - 3) (z + 8)}{12 (z + 11)} \cdot \frac{10 (z + 11)}{- z^{2} - 2 z + 3 z + 6}$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(z - 3) (z + 8)}{12 (z + 11)} \cdot \frac{10 (z + 11)}{(- z^{2} - 2 z) + 3 z + 6}$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{(z - 3) (z + 8)}{12 (z + 11)} \cdot \frac{10 (z + 11)}{z (- z - 2) - 3 (- z - 2)}$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- z - 2$ .

$\frac{(z - 3) (z + 8)}{12 (z + 11)} \cdot \frac{10 (z + 11)}{(- z - 2) (z - 3)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $z - 3$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $z - 3$ aus $(- z - 2) (z - 3)$ heraus.

$\frac{(z - 3) (z + 8)}{12 (z + 11)} \cdot \frac{10 (z + 11)}{(z - 3) (- z - 2)}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(z - 3) (z + 8)}{12 (z + 11)} \cdot \frac{10 (z + 11)}{(z - 3) (- z - 2)}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{z + 8}{12 (z + 11)} \cdot \frac{10 (z + 11)}{- z - 2}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 (z + 11)$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2 (z + 11)$ aus $12 (z + 11)$ heraus.

$\frac{z + 8}{2 (z + 11) (6)} \cdot \frac{10 (z + 11)}{- z - 2}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 (z + 11)$ aus $10 (z + 11)$ heraus.

$\frac{z + 8}{2 (z + 11) (6)} \cdot \frac{2 (z + 11) (5)}{- z - 2}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{z + 8}{2 (z + 11) \cdot 6} \cdot \frac{2 (z + 11) \cdot 5}{- z - 2}$

Schritt 5.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{z + 8}{6} \cdot \frac{5}{- z - 2}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{z + 8}{6}$ mit $\frac{5}{- z - 2}$ .

$\frac{(z + 8) \cdot 5}{6 (- z - 2)}$

Schritt 7

Bringe $5$ auf die linke Seite von $z + 8$ .

$\frac{5 \cdot (z + 8)}{6 (- z - 2)}$

Schritt 8

Faktorisiere $- 1$ aus $- z$ heraus.

$\frac{5 (z + 8)}{6 (- (z) - 2)}$

Schritt 9

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{5 (z + 8)}{6 (- (z) - 1 (2))}$

Schritt 10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (z) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{5 (z + 8)}{6 (- (z + 2))}$

Schritt 11

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 11.1

Schreibe $- (z + 2)$ als $- 1 (z + 2)$ um.

$\frac{5 (z + 8)}{6 (- 1 (z + 2))}$

Schritt 11.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 (z + 8)}{6 (z + 2)}$