Algebra Beispiele

$\frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{1}{4} = 0$

Schritt 1

Bringe die Gleichung durch Vereinfachen in eine geeignete Form, um die quadratische Ergänzung anzuwenden.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} + x + \frac{1}{4} = 0$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x^{2}}{4} + x = - \frac{1}{4}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{2}}{4} + x = - \frac{1}{4}$ mit $4$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x^{2}}{4} + x = - \frac{1}{4}$ mit $4$ .

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 + x \cdot 4 = - \frac{1}{4} \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 + x \cdot 4 = - \frac{1}{4} \cdot 4$

Schritt 2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + x \cdot 4 = - \frac{1}{4} \cdot 4$

Schritt 2.2.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 4 x = - \frac{1}{4} \cdot 4$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$x^{2} + 4 x = \frac{- 1}{4} \cdot 4$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + 4 x = \frac{- 1}{4} \cdot 4$

Schritt 2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 4 x = - 1$

Schritt 3

Um auf der linken Seite ein Quadrat-Trinom zu bilden, ermittele einen Wert der gleich dem Quadrat der Hälfte von $b$ ist.

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(2)}^{2}$

Schritt 4

Addiere den Ausdruck zu jeder Seite der Gleichung.

$x^{2} + 4 x + {(2)}^{2} = - 1 + {(2)}^{2}$

Schritt 5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 4 x + 4 = - 1 + {(2)}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $- 1 + {(2)}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} + 4 x + 4 = - 1 + 4$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$x^{2} + 4 x + 4 = 3$

Schritt 6

Faktorisiere das perfekte Trinom-Quadrat zu ${(x + 2)}^{2}$ .

${(x + 2)}^{2} = 3$

Schritt 7

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x + 2 = \pm \sqrt{3}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = \pm \sqrt{3} - 2$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \pm \sqrt{3} - 2$

Dezimalform:

$x = - 0.26794919 \dots, - 3.73205080 \dots$