Algebra Beispiele

$4^{x + 3} = \sqrt{8^{x + 5}}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{8^{x + 5}} = 4^{x + 3}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{8^{x + 5}}}^{2} = {(4^{x + 3})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8^{x + 5}}$ als $8^{\frac{x + 5}{2}}$ neu zu schreiben.

${(8^{\frac{x + 5}{2}})}^{2} = {(4^{x + 3})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(8^{\frac{x + 5}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8^{\frac{x + 5}{2} \cdot 2} = {(4^{x + 3})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8^{\frac{x + 5}{2} \cdot 2} = {(4^{x + 3})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8^{x + 5} = {(4^{x + 3})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(4^{x + 3})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8^{x + 5} = 4^{(x + 3) \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8^{x + 5} = 4^{x \cdot 2 + 3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$8^{x + 5} = 4^{2 \cdot x + 3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$8^{x + 5} = 4^{2 x + 6}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{3 (x + 5)} = 2^{2 (2 x + 6)}$

Schritt 4.2

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$3 (x + 5) = 2 (2 x + 6)$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache $3 (x + 5)$ .

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Schritt 4.3.1.1

Forme um.

$0 + 0 + 3 (x + 5) = 2 (2 x + 6)$

Schritt 4.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$3 (x + 5) = 2 (2 x + 6)$

Schritt 4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 3 \cdot 5 = 2 (2 x + 6)$

Schritt 4.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$3 x + 15 = 2 (2 x + 6)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache $2 (2 x + 6)$ .

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x + 15 = 2 (2 x) + 2 \cdot 6$

Schritt 4.3.2.2

Multipliziere.

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Schritt 4.3.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 x + 15 = 4 x + 2 \cdot 6$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$3 x + 15 = 4 x + 12$

Schritt 4.3.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.3.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x + 15 - 4 x = 12$

Schritt 4.3.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $3 x$ .

$- x + 15 = 12$

Schritt 4.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 12 - 15$

Schritt 4.3.4.2

Subtrahiere $15$ von $12$ .

$- x = - 3$

Schritt 4.3.5

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.3.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.5.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$