Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{x^{3} + 6 x^{2} + 8 x}{x^{3} - 9 x}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{3} + 6 x^{2} + 8 x$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 6 x^{2} + 8 x$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$f (x) = \frac{x \cdot x^{2} + 6 x^{2} + 8 x}{x^{3} - 9 x}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$f (x) = \frac{x \cdot x^{2} + x (6 x) + 8 x}{x^{3} - 9 x}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $8 x$ heraus.

$f (x) = \frac{x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot 8}{x^{3} - 9 x}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (6 x)$ heraus.

$f (x) = \frac{x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 8}{x^{3} - 9 x}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} + 6 x) + x \cdot 8$ heraus.

$f (x) = \frac{x (x^{2} + 6 x + 8)}{x^{3} - 9 x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 6 x + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $6$ ist.

$2, 4$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f (x) = \frac{x ((x + 2) (x + 4))}{x^{3} - 9 x}$

Schritt 1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = \frac{x (x + 2) (x + 4)}{x^{3} - 9 x}$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{3} - 9 x$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 9 x$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$f (x) = \frac{x (x + 2) (x + 4)}{x \cdot x^{2} - 9 x}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 9 x$ heraus.

$f (x) = \frac{x (x + 2) (x + 4)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 9}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ heraus.

$f (x) = \frac{x (x + 2) (x + 4)}{x (x^{2} - 9)}$

Schritt 2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (x) = \frac{x (x + 2) (x + 4)}{x (x^{2} - 3^{2})}$

Schritt 2.3

Faktorisiere.

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Schritt 2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$f (x) = \frac{x (x + 2) (x + 4)}{x ((x + 3) (x - 3))}$

Schritt 2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = \frac{x (x + 2) (x + 4)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x) = \frac{x (x + 2) (x + 4)}{x (x + 3) (x - 3)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x) = \frac{(x + 2) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 4

Um die Lücken im Graph zu ermittenl, betrachte die Faktoren im Nenner, die gekürzt wurden.

$x$

Schritt 5

Um die Koordinaten der Lücken zu finden, setze jeden Faktor, der gekürzt wurde, gleich $0$ , löse und substituiere zurück in $\frac{(x + 2) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3)}$ .

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Schritt 5.1

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.2

Setze $0$ für $x$ in $\frac{(x + 2) (x + 4)}{(x + 3) (x - 3)}$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Setze $0$ für $x$ ein, um die $y$ -Koordinate der Lücke zu bestimmen.

$\frac{(0 + 2) (0 + 4)}{(0 + 3) (0 - 3)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.1.1

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{2 (0 + 4)}{(0 + 3) (0 - 3)}$

Schritt 5.2.2.1.2

Addiere $0$ und $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{(0 + 3) (0 - 3)}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.2.1

Schreibe $0$ als $- 1 (0)$ um.

$\frac{2 \cdot 4}{(- 1 (0) + 3) (0 - 3)}$

Schritt 5.2.2.2.2

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{2 \cdot 4}{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 3) (0 - 3)}$

Schritt 5.2.2.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 3$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{- 1 \cdot (0 - 3) (0 - 3)}$

Schritt 5.2.2.2.4

Potenziere $0 - 3$ mit $1$ .

$\frac{2 \cdot 4}{- 1 \cdot ({(0 - 3)}^{1} (0 - 3))}$

Schritt 5.2.2.2.5

Potenziere $0 - 3$ mit $1$ .

$\frac{2 \cdot 4}{- 1 \cdot ({(0 - 3)}^{1} {(0 - 3)}^{1})}$

Schritt 5.2.2.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{1 + 1}}$

Schritt 5.2.2.2.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8}{- 1 \cdot {(0 - 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.4.1

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$\frac{8}{- 1 {(- 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2.4.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{8}{- 1 \cdot 9}$

Schritt 5.2.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{8}{- 9}$

Schritt 5.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{9}$

Schritt 5.3

Die Lücken im Graph sind die Punkte, bei denen jeder der gekürzten Faktoren gleich $0$ ist.

$(0, - \frac{8}{9})$

Schritt 6