Algebra Beispiele

$x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{3}} = 3 x^{\frac{1}{6}} - 9$

Schritt 1

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{1}{6}}$ , der in jedem Term vorkommt.

${(x^{\frac{1}{6}})}^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{6}})}^{2} - 3 x^{\frac{1}{6}} + 9$

Schritt 2

Ersetze $x^{\frac{1}{6}}$ durch $u$ .

${(u)}^{3} - 3 {(u)}^{2} - 3 u + 9 = 0$

Schritt 3

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.1

Entferne die Klammern.

$u^{3} - 3 u^{2} - 3 u + 9 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(u^{3} - 3 u^{2}) - 3 u + 9 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u^{2} (u - 3) - 3 (u - 3) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $u - 3$ .

$(u - 3) (u^{2} - 3) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

$u^{2} - 3 = 0$

Schritt 3.4

Setze $u - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $u - 3$ gleich $0$ .

$u - 3 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 3$

Schritt 3.5

Setze $u^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $u^{2} - 3$ gleich $0$ .

$u^{2} - 3 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $u^{2} - 3 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} = 3$

Schritt 3.5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$u = \pm \sqrt{3}$

Schritt 3.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$u = \sqrt{3}$

Schritt 3.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$u = - \sqrt{3}$

Schritt 3.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$u = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 3) (u^{2} - 3) = 0$ wahr machen.

$u = 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 4

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{1}{6}} = 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 5

Löse nach $x^{\frac{1}{6}} = 3$ auf für $x$ .

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Schritt 5.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $6$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{6}})}^{6} = 3^{6}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 3^{6}$

Schritt 5.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 3^{6}$

Schritt 5.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = 3^{6}$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = 3^{6}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $3$ mit $6$ .

$x = 729$

Schritt 6

Löse nach $x^{\frac{1}{6}} = \sqrt{3}$ auf für $x$ .

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Schritt 6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $6$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{1}{6}})}^{6} = {\sqrt{3}}^{6}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {\sqrt{3}}^{6}$

Schritt 6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {\sqrt{3}}^{6}$

Schritt 6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {\sqrt{3}}^{6}$

Schritt 6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = {\sqrt{3}}^{6}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache ${\sqrt{3}}^{6}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{6}$ als $3^{3}$ um.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{6}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 6}$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $6$ .

$x = 3^{\frac{6}{2}}$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}}$

Schritt 6.2.2.1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}$

Schritt 6.2.2.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}$

Schritt 6.2.2.1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = 3^{\frac{3}{1}}$

Schritt 6.2.2.1.1.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$x = 3^{3}$

Schritt 6.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$x = 27$

Schritt 7

Liste alle Lösungen auf.

$x = 729, 27, 27$