Algebra Beispiele

$x (2 x - 3) < 5 x < 3 x (x + 7)$

Schritt 1

Löse $x (2 x - 3) < 5 x$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Vereinfache $x (2 x - 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Forme um.

$0 + 0 + x (2 x - 3) < 5 x$

Schritt 1.1.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + x \cdot - 3 < 5 x$

Schritt 1.1.2.2

Stelle um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x \cdot x + x \cdot - 3 < 5 x$

Schritt 1.1.2.2.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x \cdot x - 3 \cdot x < 5 x$

Schritt 1.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) - 3 \cdot x < 5 x$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} - 3 \cdot x < 5 x$

$2 x^{2} - 3 x < 5 x$

Schritt 1.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x^{2} - 3 x - 5 x < 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 3 x$ .

$2 x^{2} - 8 x < 0$

Schritt 1.3

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} - 8 x = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2} - 8 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 x (x) - 8 x = 0$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 8 x$ heraus.

$2 x (x) + 2 x (- 4) = 0$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x) + 2 x (- 4)$ heraus.

$2 x (x - 4) = 0$

Schritt 1.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 1.6

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.7

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.7.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 1.7.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 1.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4$

Schritt 1.9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 1.10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 1.10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 2) (2 (- 2) - 3) < 5 (- 2)$

Schritt 1.10.1.3

Die linke Seite $14$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 1.10.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 1.10.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(2) (2 (2) - 3) < 5 (2)$

Schritt 1.10.2.3

Die linke Seite $2$ ist kleiner als die rechte Seite $10$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 1.10.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 1.10.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(6) (2 (6) - 3) < 5 (6)$

Schritt 1.10.3.3

Die linke Seite $54$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $30$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 1.10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 1.11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < 4$

Schritt 2

Löse $5 x < 3 x (x + 7)$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$3 x (x + 7) > 5 x$

Schritt 2.2

Vereinfache $3 x (x + 7)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Forme um.

$0 + 0 + 3 x (x + 7) > 5 x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$3 x (x + 7) > 5 x$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x \cdot x + 3 x \cdot 7 > 5 x$

Schritt 2.2.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Bewege $x$ .

$3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 7 > 5 x$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 7 > 5 x$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$3 x^{2} + 21 x > 5 x$

Schritt 2.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Subtrahiere $5 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x^{2} + 21 x - 5 x > 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $21 x$ .

$3 x^{2} + 16 x > 0$

Schritt 2.4

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$3 x^{2} + 16 x = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} + 16 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$x (3 x) + 16 x = 0$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $x$ aus $16 x$ heraus.

$x (3 x) + x \cdot 16 = 0$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x) + x \cdot 16$ heraus.

$x (3 x + 16) = 0$

Schritt 2.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$3 x + 16 = 0$

Schritt 2.7

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.8

Setze $3 x + 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.1

Setze $3 x + 16$ gleich $0$ .

$3 x + 16 = 0$

Schritt 2.8.2

Löse $3 x + 16 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.1

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 16$

Schritt 2.8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 16$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 16$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 16}{3}$

Schritt 2.8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 16}{3}$

Schritt 2.8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 16}{3}$

Schritt 2.8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.8.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{16}{3}$

Schritt 2.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (3 x + 16) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{16}{3}$

Schritt 2.10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{16}{3}$

$- \frac{16}{3} < x < 0$

$x > 0$

Schritt 2.11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{16}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{16}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 2.11.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 (- 8) < 3 (- 8) ((- 8) + 7)$

Schritt 2.11.1.3

Die linke Seite $- 40$ ist kleiner als die rechte Seite $24$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.11.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{16}{3} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{16}{3} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 2.11.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 (- 3) < 3 (- 3) ((- 3) + 7)$

Schritt 2.11.2.3

Die linke Seite $- 15$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 36$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.11.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.11.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 2.11.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 (2) < 3 (2) ((2) + 7)$

Schritt 2.11.3.3

Die linke Seite $10$ ist kleiner als die rechte Seite $54$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.11.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{16}{3}$ Wahr

$- \frac{16}{3} < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

$x < - \frac{16}{3}$ Wahr

$- \frac{16}{3} < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

Schritt 2.12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - \frac{16}{3}$ oder $x > 0$

Schritt 3

Bestimme die Schnittmenge von $0 < x < 4$ und $x < - \frac{16}{3} or x > 0$ .

$0 < x < 4$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$0 < x < 4$

Intervallschreibweise:

$(0, 4)$

Schritt 5