Algebra Beispiele

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{\frac{y}{y - 1}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Gleichung mit $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\sqrt{\frac{y}{y - 1}}) (y - 1)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $(y - 1) (x)$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y x - 1 x = (\sqrt{\frac{y}{y - 1}}) (y - 1)$

Schritt 3.2.1.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y x - x = (\sqrt{\frac{y}{y - 1}}) (y - 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $(\sqrt{\frac{y}{y - 1}}) (y - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe $\sqrt{\frac{y}{y - 1}}$ als $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y - 1}}$ um.

$y x - x = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y - 1}} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y - 1}}$ mit $\frac{\sqrt{y - 1}}{\sqrt{y - 1}}$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y - 1}} \cdot \frac{\sqrt{y - 1}}{\sqrt{y - 1}} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y - 1}}$ mit $\frac{\sqrt{y - 1}}{\sqrt{y - 1}}$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{\sqrt{y - 1} \sqrt{y - 1}} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.3.2

Potenziere $\sqrt{y - 1}$ mit $1$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{\sqrt{y - 1}}^{1} \sqrt{y - 1}} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.3.3

Potenziere $\sqrt{y - 1}$ mit $1$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{\sqrt{y - 1}}^{1} {\sqrt{y - 1}}^{1}} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{\sqrt{y - 1}}^{1 + 1}} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{\sqrt{y - 1}}^{2}} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{y - 1}}^{2}$ als $y - 1$ um.

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Schritt 3.3.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y - 1}$ als ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{(y - 1)}^{\frac{2}{2}}} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{(y - 1)}^{\frac{2}{2}}} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{{(y - 1)}^{1}} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.3.6.5

Vereinfache.

$y x - x = \frac{\sqrt{y} \sqrt{y - 1}}{y - 1} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y x - x = \frac{\sqrt{y (y - 1)}}{y - 1} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y x - x = \frac{\sqrt{y (y - 1)}}{y - 1} (y - 1)$

Schritt 3.3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$y x - x = \sqrt{y (y - 1)}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\sqrt{y (y - 1)} = y x - x$

Schritt 3.4.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y (y - 1)}}^{2} = {(y x - x)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y (y - 1)}$ als ${(y (y - 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y (y - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y x - x)}^{2}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Vereinfache ${({(y (y - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 3.4.3.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y (y - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y (y - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - x)}^{2}$

Schritt 3.4.3.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.3.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y (y - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - x)}^{2}$

Schritt 3.4.3.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y (y - 1))}^{1} = {(y x - x)}^{2}$

Schritt 3.4.3.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(y \cdot y + y \cdot - 1)}^{1} = {(y x - x)}^{2}$

Schritt 3.4.3.2.1.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.3.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

${(y^{2} + y \cdot - 1)}^{1} = {(y x - x)}^{2}$

Schritt 3.4.3.2.1.1.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

${(y^{2} - 1 \cdot y)}^{1} = {(y x - x)}^{2}$

Schritt 3.4.3.2.1.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

${(y^{2} - y)}^{1} = {(y x - x)}^{2}$

Schritt 3.4.3.2.1.3

Vereinfache.

$y^{2} - y = {(y x - x)}^{2}$

Schritt 3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.3.1

Vereinfache ${(y x - x)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.3.1.1

Schreibe ${(y x - x)}^{2}$ als $(y x - x) (y x - x)$ um.

$y^{2} - y = (y x - x) (y x - x)$

Schritt 3.4.3.3.1.2

Multipliziere $(y x - x) (y x - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} - y = y x (y x - x) - x (y x - x)$

Schritt 3.4.3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} - y = y x (y x) + y x (- x) - x (y x - x)$

Schritt 3.4.3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} - y = y x (y x) + y x (- x) - x (y x) - x (- x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.3.1.3.1.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.3.3.1.3.1.1.1

Bewege $y$ .

$y^{2} - y = y \cdot y x \cdot x + y x (- x) - x (y x) - x (- x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} - y = y^{2} x \cdot x + y x (- x) - x (y x) - x (- x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.3.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} (x \cdot x) + y x (- x) - x (y x) - x (- x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} + y x (- x) - x (y x) - x (- x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x \cdot x - x (y x) - x (- x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.3.3.1.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y (x \cdot x) - x (y x) - x (- x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x (y x) - x (- x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.3.3.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - (x \cdot x) y - x (- x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y - x (- x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.3.3.1.3.1.7.1

Bewege $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y + 1 x^{2}$

Schritt 3.4.3.3.1.3.1.9

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - y x^{2} - x^{2} y + x^{2}$

Schritt 3.4.3.3.1.3.2

Subtrahiere $x^{2} y$ von $- y x^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.3.1.3.2.1

Bewege $y$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - x^{2} y - x^{2} y + x^{2}$

Schritt 3.4.3.3.1.3.2.2

Subtrahiere $x^{2} y$ von $- x^{2} y$ .

$y^{2} - y = y^{2} x^{2} - 2 x^{2} y + x^{2}$

Schritt 3.4.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.4.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.4.1.1

Subtrahiere $y^{2} x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - y - y^{2} x^{2} = - 2 x^{2} y + x^{2}$

Schritt 3.4.4.1.2

Addiere $2 x^{2} y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - y - y^{2} x^{2} + 2 x^{2} y = x^{2}$

Schritt 3.4.4.2

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - y - y^{2} x^{2} + 2 x^{2} y - x^{2} = 0$

Schritt 3.4.4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4.4.4

Setze die Werte $a = 1 - x^{2}$ , $b = - 1 + 2 x^{2}$ und $c = - x^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- (- 1 + 2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot ((1 - x^{2}) \cdot (- x^{2}))}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5

Vereinfache.

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Schritt 3.4.4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.4

Schreibe ${(- 1 + 2 x^{2})}^{2}$ als $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ um.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.5

Multipliziere $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.4.5.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 (- 1 + 2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.4.5.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.5.1.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.6.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.4.5.1.6.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.6.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.6.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.6.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.6.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.11

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 - 4 x^{2}) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.13

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.14

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.4.5.1.14.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.14.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2 + 2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.14.3

Addiere $2$ und $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.15

Addiere $- 4 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{4} + 0 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.16

Addiere $1$ und $0$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{4} + 1 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.17

Subtrahiere $4 x^{4}$ von $4 x^{4}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{0 + 1}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.18

Addiere $0$ und $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.1.19

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.5.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1^{2} - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.5.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.4

Schreibe ${(- 1 + 2 x^{2})}^{2}$ als $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ um.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.5

Multipliziere $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 (- 1 + 2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.1.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.6.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.1.6.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.6.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.6.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.6.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.6.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.11

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 - 4 x^{2}) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.13

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.14

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.1.14.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.14.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2 + 2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.14.3

Addiere $2$ und $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.15

Addiere $- 4 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{4} + 0 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.16

Addiere $1$ und $0$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{4} + 1 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.17

Subtrahiere $4 x^{4}$ von $4 x^{4}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{0 + 1}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.18

Addiere $0$ und $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.1.19

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1^{2} - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.6.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.6.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} + 1}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.6.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.4.1

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} + 2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.6.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} + 2$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 (- x^{2}) + 2}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.6.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (1)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.6.4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2}) + 2 (1)$ heraus.

$y = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.6.4.3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{2 (- x^{2} + 1^{2})}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.6.4.4

Stelle $- x^{2}$ und $1^{2}$ um.

$y = \frac{2 (1^{2} - x^{2})}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.6.4.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$y = \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (1 + x) (1 - x)}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.6.5.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.6.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.6.6.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1 - x}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.6.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.6.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1 - x}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.6.7.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 1$

Schritt 3.4.4.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 - (2 x^{2}) \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{{(- 1 + 2 x^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.4

Schreibe ${(- 1 + 2 x^{2})}^{2}$ als $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ um.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.5

Multipliziere $(- 1 + 2 x^{2}) (- 1 + 2 x^{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.7.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 (- 1 + 2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} (- 1 + 2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot - 1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.7.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.7.1.6.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 1 (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 x^{2} (2 x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.6.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.6.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.7.1.6.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.6.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{2 + 2}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.6.1.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2 \cdot (2 x^{4}) - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.6.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.6.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} - 4 \cdot (1 - x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot 1 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.8

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 - 4 (- x^{2})) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 + 4 x^{2}) \cdot (- 1 x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.10

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (- 4 \cdot - 1 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.11

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 + 4 x^{2} \cdot - 1) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + (4 - 4 x^{2}) x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.13

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2} x^{2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.14

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.7.1.14.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 (x^{2} x^{2})}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.14.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{2 + 2}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.14.3

Addiere $2$ und $2$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 - 4 x^{2} + 4 x^{4} + 4 x^{2} - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.15

Addiere $- 4 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1 + 4 x^{4} + 0 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.16

Addiere $1$ und $0$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{4 x^{4} + 1 - 4 x^{4}}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.17

Subtrahiere $4 x^{4}$ von $4 x^{4}$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{0 + 1}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.18

Addiere $0$ und $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm \sqrt{1}}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.1.19

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.4.7.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1^{2} - x^{2})}$

Schritt 3.4.4.7.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} \pm 1}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.7.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{1 - 2 x^{2} - 1}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.7.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.7.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} + 0}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.7.4.2

Addiere $- 2 x^{2}$ und $0$ .

$y = \frac{- 2 x^{2}}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.7.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.4.4.7.5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 (- x^{2})}{2 (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.7.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.4.7.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (1 + x) (1 - x)$ heraus.

$y = \frac{2 (- x^{2})}{2 ((1 + x) (1 - x))}$

Schritt 3.4.4.7.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (- x^{2})}{2 ((1 + x) (1 - x))}$

Schritt 3.4.4.7.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.7.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 3.4.4.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 1$

$y = - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 1$

$y = - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 1$

$y = - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

$y = 1$

$y = - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1, - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 1, - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ und $f^{- 1} (x) = 1, - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5.3

Find the domain of the inverse.

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Schritt 5.3.1

Bestimme den Definitionsbereich von $1$ .

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Schritt 5.3.1.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5.3.2

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Schritt 5.3.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 5.3.2.2.2

Setze $1 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Setze $1 + x$ gleich $0$ .

$1 + x = 0$

Schritt 5.3.2.2.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5.3.2.2.3

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.2.3.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 5.3.2.2.3.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.2.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 5.3.2.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 5.3.2.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(1 + x) (1 - x) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1$

Schritt 5.3.2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5.3.3

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Schritt 5.3.3.1

Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in jedem Intervall enthalten sind.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = 1, - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = 1, - \frac{x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$ keine inverse Funktion von $f (x) = \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6