Algebra Beispiele

$\frac{a + 15}{9 - a^{2}} - \frac{a + 5}{a + 3} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{a + 15}{3^{2} - a^{2}} - \frac{a + 5}{a + 3} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = a$ .

$\frac{a + 15}{(3 + a) (3 - a)} - \frac{a + 5}{a + 3} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 2

Stelle die Terme um.

$\frac{a + 15}{(a + 3) (3 - a)} - \frac{a + 5}{a + 3} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 3

Um $- \frac{a + 5}{a + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 - a}{3 - a}$ .

$\frac{a + 15}{(a + 3) (3 - a)} - \frac{a + 5}{a + 3} \cdot \frac{3 - a}{3 - a} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{a + 5}{a + 3}$ mit $\frac{3 - a}{3 - a}$ .

$\frac{a + 15}{(a + 3) (3 - a)} - \frac{(a + 5) (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a + 15 - (a + 5) (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a + 15 + (- a - 1 \cdot 5) (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{a + 15 + (- a - 5) (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.3

Multipliziere $(- a - 5) (3 - a)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a + 15 - a (3 - a) - 5 (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a + 15 - a \cdot 3 - a (- a) - 5 (3 - a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a + 15 - a \cdot 3 - a (- a) - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.4.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{a + 15 - 3 a - a (- a) - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{a + 15 - 3 a - 1 \cdot - 1 a \cdot a - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.4.1.3

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.4.1.3.1

Bewege $a$ .

$\frac{a + 15 - 3 a - 1 \cdot - 1 (a \cdot a) - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.4.1.3.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a + 15 - 3 a - 1 \cdot - 1 a^{2} - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{a + 15 - 3 a + 1 a^{2} - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.4.1.5

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$\frac{a + 15 - 3 a + a^{2} - 5 \cdot 3 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.4.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{a + 15 - 3 a + a^{2} - 15 - 5 (- a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.4.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{a + 15 - 3 a + a^{2} - 15 + 5 a}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $- 3 a$ und $5 a$ .

$\frac{a + 15 + 2 a + a^{2} - 15}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.5

Addiere $a$ und $2 a$ .

$\frac{3 a + 15 + a^{2} - 15}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.6

Subtrahiere $15$ von $15$ .

$\frac{3 a + a^{2} + 0}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.7

Addiere $3 a + a^{2}$ und $0$ .

$\frac{3 a + a^{2}}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.8

Faktorisiere $a$ aus $3 a + a^{2}$ heraus.

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Schritt 5.1.8.1

Faktorisiere $a$ aus $3 a$ heraus.

$\frac{a \cdot 3 + a^{2}}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.8.2

Faktorisiere $a$ aus $a^{2}$ heraus.

$\frac{a \cdot 3 + a \cdot a}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.1.8.3

Faktorisiere $a$ aus $a \cdot 3 + a \cdot a$ heraus.

$\frac{a (3 + a)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 + a$ und $a + 3$ .

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Schritt 5.2.1

Stelle die Terme um.

$\frac{a (a + 3)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a (a + 3)}{(a + 3) (3 - a)} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a}{3 - a} + \frac{a - 5}{3 - a}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a + a - 5}{- a + 3}$

Schritt 6.2

Addiere $a$ und $a$ .

$\frac{2 a - 5}{- a + 3}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- a$ heraus.

$\frac{2 a - 5}{- (a) + 3}$

Schritt 6.4

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{2 a - 5}{- (a) - 1 (- 3)}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (a) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{2 a - 5}{- (a - 3)}$

Schritt 6.6

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 6.6.1

Schreibe $- (a - 3)$ als $- 1 (a - 3)$ um.

$\frac{2 a - 5}{- 1 (a - 3)}$

Schritt 6.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 a - 5}{a - 3}$