Algebra Beispiele

$- 3^{- x} - 6 = - 3^{x} + 10$

Schritt 1

Addiere $3^{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3^{- x} - 6 + 3^{x} = 10$

Schritt 2

Schreibe $3^{- x}$ als Potenz um.

$- {(3^{x})}^{- 1} - 6 + 3^{x} = 10$

Schritt 3

Ersetze $3^{x}$ durch $u$ .

$- u^{- 1} - 6 + u = 10$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{u} - 6 + u = 10$

Schritt 5

Bewege $- 6$ .

$- \frac{1}{u} + u - 6 = 10$

Schritt 6

Stelle $- \frac{1}{u}$ und $u$ um.

$u - \frac{1}{u} - 6 = 10$

Schritt 7

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 7.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1, 1$

Schritt 7.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 7.2

Multipliziere jeden Term in $u - \frac{1}{u} - 6 = 10$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.2.1

Multipliziere jeden Term in $u - \frac{1}{u} - 6 = 10$ mit $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u - 6 u = 10 u$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u - 6 u = 10 u$

Schritt 7.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 7.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{u}$ in den Zähler.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u - 6 u = 10 u$

Schritt 7.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u - 6 u = 10 u$

Schritt 7.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} - 1 - 6 u = 10 u$

Schritt 7.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 7.3.1

Bringe alle Terme, die $u$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.1.1

Subtrahiere $10 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} - 1 - 6 u - 10 u = 0$

Schritt 7.3.1.2

Subtrahiere $10 u$ von $- 6 u$ .

$u^{2} - 1 - 16 u = 0$

Schritt 7.3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.3.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 16$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $u$ auf.

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.4

Vereinfache.

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Schritt 7.3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.4.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 7.3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.4.1.3

Addiere $256$ und $4$ .

$u = \frac{16 \pm \sqrt{260}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.4.1.4

Schreibe $260$ als $2^{2} \cdot 65$ um.

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Schritt 7.3.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $260$ heraus.

$u = \frac{16 \pm \sqrt{4 (65)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$u = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$u = \frac{16 \pm 2 \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$u = \frac{16 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$

Schritt 7.3.4.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$ .

$u = 8 \pm \sqrt{65}$

Schritt 7.3.5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$u = 8 + \sqrt{65}, 8 - \sqrt{65}$

Schritt 8

Setze $8 + \sqrt{65}$ für $u$ in $u = 3^{x}$ ein.

$8 + \sqrt{65} = 3^{x}$

Schritt 9

Löse $8 + \sqrt{65} = 3^{x}$ .

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $3^{x} = 8 + \sqrt{65}$ um.

$3^{x} = 8 + \sqrt{65}$

Schritt 9.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x}) = \ln (8 + \sqrt{65})$

Schritt 9.3

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (3) = \ln (8 + \sqrt{65})$

Schritt 9.4

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = \ln (8 + \sqrt{65})$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = \ln (8 + \sqrt{65})$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Schritt 9.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 9.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Schritt 9.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Schritt 10

Setze $8 - \sqrt{65}$ für $u$ in $u = 3^{x}$ ein.

$8 - \sqrt{65} = 3^{x}$

Schritt 11

Löse $8 - \sqrt{65} = 3^{x}$ .

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Schritt 11.1

Schreibe die Gleichung als $3^{x} = 8 - \sqrt{65}$ um.

$3^{x} = 8 - \sqrt{65}$

Schritt 11.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x}) = \ln (8 - \sqrt{65})$

Schritt 11.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (8 - \sqrt{65})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 11.4

Es gibt keine Lösung für $3^{x} = 8 - \sqrt{65}$

Keine Lösung

Schritt 12

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Schritt 13

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

Dezimalform:

$x = 2.52725398 \dots$