Algebra Beispiele

$\log_{x + 3} (2 x^{2} + 9) = 2$

Schritt 1

Schreibe $\log_{x + 3} (2 x^{2} + 9) = 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

${(x + 3)}^{2} = 2 x^{2} + 9$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 3)}^{2} - 2 x^{2} = 9$

Schritt 2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe ${(x + 3)}^{2}$ als $(x + 3) (x + 3)$ um.

$(x + 3) (x + 3) - 2 x^{2} = 9$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere $(x + 3) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 3) + 3 (x + 3) - 2 x^{2} = 9$

Schritt 2.1.2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - 2 x^{2} = 9$

Schritt 2.1.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 2 x^{2} = 9$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 2 x^{2} = 9$

Schritt 2.1.2.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - 2 x^{2} = 9$

Schritt 2.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 2 x^{2} = 9$

Schritt 2.1.2.3.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 9 - 2 x^{2} = 9$

Schritt 2.1.3

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- x^{2} + 6 x + 9 = 9$

Schritt 2.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} + 6 x + 9 - 9 = 0$

Schritt 2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x^{2} + 6 x + 9 - 9$ .

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$- x^{2} + 6 x + 0 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $- x^{2} + 6 x$ und $0$ .

$- x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- x \cdot x + 6 x = 0$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere $- x$ aus $6 x$ heraus.

$- x \cdot x - x \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x) - x (- 6)$ heraus.

$- x (x - 6) = 0$

Schritt 2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 2.6

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.7

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 2.7.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 6$