Algebra Beispiele

$x^{3} + 2 x^{2} - y - 1 = 0$ , $2 - y + x - x^{2} = 0$

Schritt 1

Löse in $x^{3} + 2 x^{2} - y - 1 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} - y - 1 = - x^{3}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y - 1 = - x^{3} - 2 x^{2}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Schritt 1.1.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- y = - x^{3} - 2 x^{2} + 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$- y = - x^{3} - 2 x^{2} + 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = - x^{3} - 2 x^{2} + 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = - x^{3} - 2 x^{2} + 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- x^{3}}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{- x^{3}}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x^{3}}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$y = \frac{- x^{3}}{- 1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{x^{3}}{1} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$y = x^{3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 1} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2 x^{2}}{- 1}$ .

$y = x^{3} - 1 \cdot (- 2 x^{2}) + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot (- 2 x^{2})$ als $- (- 2 x^{2})$ um.

$y = x^{3} - (- 2 x^{2}) + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} + \frac{1}{- 1}$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.3.1.6

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - y + x - x^{2} = 0$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $x^{3} + 2 x^{2} - 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $y$ in $2 - y + x - x^{2} = 0$ durch $x^{3} + 2 x^{2} - 1$ .

$2 - (x^{3} + 2 x^{2} - 1) + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $2 - (x^{3} + 2 x^{2} - 1) + x - x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 - x^{3} - (2 x^{2}) + 1 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 2.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 - x^{3} - 2 x^{2} + 1 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 - x^{3} - 2 x^{2} + 1 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - x^{3} - 2 x^{2} + 1 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$2 - x^{3} - 2 x^{2} + 1 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1.2.1

Addiere $2$ und $1$ .

$- x^{3} - 2 x^{2} + 3 + x - x^{2} = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 2.2.1.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $- 2 x^{2}$ .

$- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3

Löse in $- x^{3} - 3 x^{2} + 3 + x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Stelle die Terme um.

$- x^{3} - 3 x^{2} + x + 3 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- x^{3} - 3 x^{2}) + x + 3 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (- x - 3) - 1 (- x - 3) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x^{2} (- x - 3) - 1 (- x - 3) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 3$ .

$(- x - 3) (x^{2} - 1) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.1.4

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(- x - 3) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 3.1.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(- x - 3) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(- x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$(- x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$(- x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.3

Setze $- x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $- x - 3$ gleich $0$ .

$- x - 3 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.3.2

Löse $- x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3}{- 1}$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{3}{- 1}$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{- 1}$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = \frac{3}{- 1}$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.2.3.1

Dividiere $3$ durch $- 1$ .

$x = - 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 3$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.5

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, - 1, 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

$x = - 3, - 1, 1$

$y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$ durch $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 1$

$x = - 3$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 1$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$y = - 27 + 2 {(- 3)}^{2} - 1$

$x = - 3$

Schritt 4.2.1.1.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$y = - 27 + 2 \cdot 9 - 1$

$x = - 3$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$y = - 27 + 18 - 1$

$x = - 3$

$y = - 27 + 18 - 1$

$x = - 3$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1.2.1

Addiere $- 27$ und $18$ .

$y = - 9 - 1$

$x = - 3$

Schritt 4.2.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 9$ .

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$ durch $- 1$ .

$y = {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 1$

$x = - 1$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache ${(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 1$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 1$

$x = - 1$

Schritt 5.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - 1 + 2 \cdot 1 - 1$

$x = - 1$

Schritt 5.2.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = - 1 + 2 - 1$

$x = - 1$

$y = - 1 + 2 - 1$

$x = - 1$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.1.2.1

Addiere $- 1$ und $2$ .

$y = 1 - 1$

$x = - 1$

Schritt 5.2.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

Schritt 6

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 6.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$ durch $- 3$ .

$y = {(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 1$

$x = - 3$

Schritt 6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache ${(- 3)}^{3} + 2 {(- 3)}^{2} - 1$ .

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Schritt 6.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$y = - 27 + 2 {(- 3)}^{2} - 1$

$x = - 3$

Schritt 6.2.1.1.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$y = - 27 + 2 \cdot 9 - 1$

$x = - 3$

Schritt 6.2.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$y = - 27 + 18 - 1$

$x = - 3$

$y = - 27 + 18 - 1$

$x = - 3$

Schritt 6.2.1.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.1.2.1

Addiere $- 27$ und $18$ .

$y = - 9 - 1$

$x = - 3$

Schritt 6.2.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 9$ .

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

$y = - 10$

$x = - 3$

Schritt 7

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $- 1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$ durch $- 1$ .

$y = {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 1$

$x = - 1$

Schritt 7.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache ${(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} - 1$ .

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Schritt 7.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - 1 + 2 {(- 1)}^{2} - 1$

$x = - 1$

Schritt 7.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - 1 + 2 \cdot 1 - 1$

$x = - 1$

Schritt 7.2.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = - 1 + 2 - 1$

$x = - 1$

$y = - 1 + 2 - 1$

$x = - 1$

Schritt 7.2.1.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.1.2.1

Addiere $- 1$ und $2$ .

$y = 1 - 1$

$x = - 1$

Schritt 7.2.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

$y = 0$

$x = - 1$

Schritt 8

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 8.1

Ersetze alle $x$ in $y = x^{3} + 2 x^{2} - 1$ durch $1$ .

$y = {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} - 1$

$x = 1$

Schritt 8.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache ${(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} - 1$ .

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Schritt 8.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1 + 2 {(1)}^{2} - 1$

$x = 1$

Schritt 8.2.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = 1 + 2 \cdot 1 - 1$

$x = 1$

Schritt 8.2.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = 1 + 2 - 1$

$x = 1$

$y = 1 + 2 - 1$

$x = 1$

Schritt 8.2.1.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.2.1.2.1

Addiere $1$ und $2$ .

$y = 3 - 1$

$x = 1$

Schritt 8.2.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$y = 2$

$x = 1$

$y = 2$

$x = 1$

$y = 2$

$x = 1$

$y = 2$

$x = 1$

$y = 2$

$x = 1$

Schritt 9

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 3, - 10)$

$(- 1, 0)$

$(1, 2)$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 3, - 10), (- 1, 0), (1, 2)$

Gleichungsform:

$x = - 3, y = - 10$

$x = - 1, y = 0$

$x = 1, y = 2$

Schritt 11