Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 10 x + 16}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{4} + 66 x^{3} + 108 x^{2}}{6 x^{2} - 24}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} - 10 x + 16$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $16$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 8, - 2$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{4} + 66 x^{3} + 108 x^{2}}{6 x^{2} - 24}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $6 x^{4} + 66 x^{3} + 108 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $6 x^{4}$ heraus.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x^{2}) + 66 x^{3} + 108 x^{2}}{6 x^{2} - 24}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $66 x^{3}$ heraus.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (11 x) + 108 x^{2}}{6 x^{2} - 24}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $108 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (11 x) + 6 x^{2} (18)}{6 x^{2} - 24}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (11 x)$ heraus.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x^{2} + 11 x) + 6 x^{2} (18)}{6 x^{2} - 24}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $6 x^{2} (x^{2} + 11 x) + 6 x^{2} (18)$ heraus.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x^{2} + 11 x + 18)}{6 x^{2} - 24}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2} + 11 x + 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $18$ und deren Summe $11$ ist.

$2, 9$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} ((x + 2) (x + 9))}{6 x^{2} - 24}$

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 x^{2} - 24}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} - 24$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x^{2}) - 24}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 24$ heraus.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 x^{2} + 6 \cdot - 4}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 6 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x^{2} - 4)}$

Schritt 3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x^{2} - 2^{2})}$

Schritt 3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x - 8) (x - 2)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 8) (x - 2)$ heraus.

$\frac{(x - 2) (x - 8)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2) (x - 2)}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x - 2$ aus $6 (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$\frac{(x - 2) (x - 8)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{(x - 2) (6 (x + 2))}$

Schritt 4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 2) (x - 8)}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{(x - 2) (6 (x + 2))}$

Schritt 4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 8}{x - 8} \cdot \frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{x - 8}{x - 8}$ mit $\frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2)}$ .

$\frac{(x - 8) (6 x^{2} (x + 2) (x + 9))}{(x - 8) (6 (x + 2))}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 8$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 8) (6 x^{2} (x + 2) (x + 9))}{(x - 8) (6 (x + 2))}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2)}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x^{2} (x + 2) (x + 9)}{6 (x + 2)}$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} (x + 2)) (x + 9)}{x + 2}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (x + 2) (x + 9)}{x + 2}$

Schritt 4.5.2

Dividiere $(x^{2}) (x + 9)$ durch $1$ .

$(x^{2}) (x + 9)$

Schritt 4.6

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} x + x^{2} \cdot 9$

Schritt 5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 9$

Schritt 5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 9$

Schritt 5.2

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{3} + x^{2} \cdot 9$

Schritt 6

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x^{3} + 9 x^{2}$