Algebra Beispiele

$3 x^{4} - 14 x^{3} - 3 x^{2} + 54 x - 40$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$3 x^{4} - 3 x^{2} - 14 x^{3} + 54 x - 40$

Schritt 2

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $3 x^{4} - 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$3 x^{2} (x^{2}) - 3 x^{2} - 14 x^{3} + 54 x - 40$

Schritt 2.2

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$3 x^{2} (x^{2}) + 3 x^{2} (- 1) - 14 x^{3} + 54 x - 40$

Schritt 2.3

Faktorisiere $3 x^{2}$ aus $3 x^{2} (x^{2}) + 3 x^{2} (- 1)$ heraus.

$3 x^{2} (x^{2} - 1) - 14 x^{3} + 54 x - 40$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$3 x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - 14 x^{3} + 54 x - 40$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$3 x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - 14 x^{3} + 54 x - 40$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 x^{2} (x + 1) (x - 1) - 14 x^{3} + 54 x - 40$

Schritt 5

Faktorisiere $2$ aus $- 14 x^{3} + 54 x - 40$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14 x^{3}$ heraus.

$3 x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (- 7 x^{3}) + 54 x - 40$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2$ aus $54 x$ heraus.

$3 x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (- 7 x^{3}) + 2 (27 x) - 40$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2$ aus $- 40$ heraus.

$3 x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (- 7 x^{3}) + 2 (27 x) + 2 (- 20)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 7 x^{3}) + 2 (27 x)$ heraus.

$3 x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (- 7 x^{3} + 27 x) + 2 (- 20)$

Schritt 5.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- 7 x^{3} + 27 x) + 2 (- 20)$ heraus.

$3 x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (- 7 x^{3} + 27 x - 20)$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 7 x^{3} + 27 x - 20$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 6.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 7$

Schritt 6.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 20, \pm 2.\overline{857142}, \pm 2, \pm 0.\overline{285714}, \pm 10, \pm 1.\overline{428571}, \pm 4, \pm 0.\overline{571428}, \pm 5, \pm 0.\overline{714285}$

Schritt 6.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 6.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$- 7 \cdot 1^{3} + 27 \cdot 1 - 20$

Schritt 6.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$- 7 \cdot 1 + 27 \cdot 1 - 20$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$- 7 + 27 \cdot 1 - 20$

Schritt 6.1.3.4

Mutltipliziere $27$ mit $1$ .

$- 7 + 27 - 20$

Schritt 6.1.3.5

Addiere $- 7$ und $27$ .

$20 - 20$

Schritt 6.1.3.6

Subtrahiere $20$ von $20$ .

$0$

Schritt 6.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 7 x^{3} + 27 x - 20}{x - 1}$

Schritt 6.1.5

Dividiere $- 7 x^{3} + 27 x - 20$ durch $x - 1$ .

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Schritt 6.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$7 x^{3}$

$0 x^{2}$

$27 x$

$20$

Schritt 6.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 7 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$7 x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$

Schritt 6.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Schritt 6.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 7 x^{3} + 7 x^{2}$

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Schritt 6.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Schritt 6.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$7 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$

Schritt 6.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 7 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$

Schritt 6.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$7 x$

Schritt 6.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 7 x^{2} + 7 x$

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$

Schritt 6.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$20 x$

Schritt 6.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$20 x$	-	$20$

Schritt 6.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $20 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$20 x$	-	$20$

Schritt 6.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	-	$20$

Schritt 6.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $20 x - 20$

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$

Schritt 6.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$7 x^{2}$	-	$7 x$	+	$20$
$x$	-	$1$	-	$7 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$27 x$	-	$20$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$27 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	+	$20$
										$0$

Schritt 6.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- 7 x^{2} - 7 x + 20$

Schritt 6.1.6

Schreibe $- 7 x^{3} + 27 x - 20$ als eine Menge von Faktoren.

$3 x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 ((x - 1) (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Schritt 6.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (x - 1) (- 7 x^{2} - 7 x + 20)$

Schritt 7

Faktorisiere $x - 1$ aus $3 x^{2} (x + 1) (x - 1) + 2 (x - 1) (- 7 x^{2} - 7 x + 20)$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $3 x^{2} (x + 1) (x - 1)$ heraus.

$(x - 1) (3 x^{2} (x + 1)) + 2 (x - 1) (- 7 x^{2} - 7 x + 20)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x - 1$ aus $2 (x - 1) (- 7 x^{2} - 7 x + 20)$ heraus.

$(x - 1) (3 x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) (3 x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$ heraus.

$(x - 1) (3 x^{2} (x + 1) + 2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Schritt 8

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 1) (3 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 1 + 2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Schritt 9

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.1

Bewege $x$ .

$(x - 1) (3 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x - 1) (3 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 1 + 2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Schritt 9.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x - 1) (3 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot 1 + 2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Schritt 9.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(x - 1) (3 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Schritt 10

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(x - 1) (3 x^{3} + 3 x^{2} + 2 (- 7 x^{2} - 7 x + 20))$

Schritt 11

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 1) (3 x^{3} + 3 x^{2} + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 20)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$(x - 1) (3 x^{3} + 3 x^{2} - 14 x^{2} + 2 (- 7 x) + 2 \cdot 20)$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$(x - 1) (3 x^{3} + 3 x^{2} - 14 x^{2} - 14 x + 2 \cdot 20)$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $2$ mit $20$ .

$(x - 1) (3 x^{3} + 3 x^{2} - 14 x^{2} - 14 x + 40)$

Schritt 13

Subtrahiere $14 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$(x - 1) (3 x^{3} - 11 x^{2} - 14 x + 40)$

Schritt 14

Faktorisiere.

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Schritt 14.1

Schreibe $3 x^{3} - 11 x^{2} - 14 x + 40$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 14.1.1

Faktorisiere $3 x^{3} - 11 x^{2} - 14 x + 40$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 14.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 40, \pm 2, \pm 20, \pm 4, \pm 10, \pm 5, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 14.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 40, \pm 13.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 20, \pm 6.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 10, \pm 3.\overline{3}, \pm 5, \pm 1.\overline{6}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}$

Schritt 14.1.1.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 14.1.1.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

$3 {(- 2)}^{3} - 11 {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 + 40$

Schritt 14.1.1.3.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$3 \cdot - 8 - 11 {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 + 40$

Schritt 14.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$- 24 - 11 {(- 2)}^{2} - 14 \cdot - 2 + 40$

Schritt 14.1.1.3.4

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 24 - 11 \cdot 4 - 14 \cdot - 2 + 40$

Schritt 14.1.1.3.5

Mutltipliziere $- 11$ mit $4$ .

$- 24 - 44 - 14 \cdot - 2 + 40$

Schritt 14.1.1.3.6

Subtrahiere $44$ von $- 24$ .

$- 68 - 14 \cdot - 2 + 40$

Schritt 14.1.1.3.7

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 2$ .

$- 68 + 28 + 40$

Schritt 14.1.1.3.8

Addiere $- 68$ und $28$ .

$- 40 + 40$

Schritt 14.1.1.3.9

Addiere $- 40$ und $40$ .

$0$

Schritt 14.1.1.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{3 x^{3} - 11 x^{2} - 14 x + 40}{x + 2}$

Schritt 14.1.1.5

Dividiere $3 x^{3} - 11 x^{2} - 14 x + 40$ durch $x + 2$ .

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Schritt 14.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{3}$

$11 x^{2}$

$14 x$

$40$

Schritt 14.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$

Schritt 14.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			+	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Schritt 14.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{3} + 6 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Schritt 14.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$

Schritt 14.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$

Schritt 14.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 17 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$

Schritt 14.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$
					-	$17 x^{2}$	-	$34 x$

Schritt 14.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 17 x^{2} - 34 x$

				$3 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$17 x^{2}$	+	$34 x$

Schritt 14.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							+	$20 x$

Schritt 14.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x^{2}$	-	$17 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							+	$20 x$	+	$40$

Schritt 14.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $20 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$20$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							+	$20 x$	+	$40$

Schritt 14.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$20$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							+	$20 x$	+	$40$
							+	$20 x$	+	$40$

Schritt 14.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $20 x + 40$

				$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$20$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							+	$20 x$	+	$40$
							-	$20 x$	-	$40$

Schritt 14.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x^{2}$	-	$17 x$	+	$20$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$14 x$	+	$40$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$17 x^{2}$	-	$14 x$
					+	$17 x^{2}$	+	$34 x$
							+	$20 x$	+	$40$
							-	$20 x$	-	$40$
										$0$

Schritt 14.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$3 x^{2} - 17 x + 20$

Schritt 14.1.1.6

Schreibe $3 x^{3} - 11 x^{2} - 14 x + 40$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) ((x + 2) (3 x^{2} - 17 x + 20))$

Schritt 14.1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 14.1.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 14.1.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 20 = 60$ und deren Summe gleich $b = - 17$ ist.

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Schritt 14.1.2.1.1.1

Faktorisiere $- 17$ aus $- 17 x$ heraus.

$(x - 1) ((x + 2) (3 x^{2} - 17 (x) + 20))$

Schritt 14.1.2.1.1.2

Schreibe $- 17$ um als $- 5$ plus $- 12$

$(x - 1) ((x + 2) (3 x^{2} + (- 5 - 12) x + 20))$

Schritt 14.1.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 1) ((x + 2) (3 x^{2} - 5 x - 12 x + 20))$

Schritt 14.1.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 14.1.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) ((x + 2) ((3 x^{2} - 5 x) - 12 x + 20))$

Schritt 14.1.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) ((x + 2) (x (3 x - 5) - 4 (3 x - 5)))$

Schritt 14.1.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 5$ .

$(x - 1) ((x + 2) ((3 x - 5) (x - 4)))$

Schritt 14.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) ((x + 2) (3 x - 5) (x - 4))$

Schritt 14.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (x + 2) (3 x - 5) (x - 4)$