Algebra Beispiele

$\frac{r + 3 s}{s + r} - \frac{3 s^{2}}{s^{2} - r^{2}} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = s$ und $b = r$ .

$\frac{r + 3 s}{s + r} - \frac{3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 2

Um $\frac{r + 3 s}{s + r}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{s - r}{s - r}$ .

$\frac{r + 3 s}{s + r} \cdot \frac{s - r}{s - r} - \frac{3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{r + 3 s}{s + r}$ mit $\frac{s - r}{s - r}$ .

$\frac{(r + 3 s) (s - r)}{(s + r) (s - r)} - \frac{3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(r + 3 s) (s - r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $(r + 3 s) (s - r)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{r (s - r) + 3 s (s - r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 4.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{r s + r (- r) + 3 s (s - r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{r s + r (- r) + 3 s \cdot s + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 4.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{r s - r \cdot r + 3 s \cdot s + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.2.1

Bewege $r$ .

$\frac{r s - (r \cdot r) + 3 s \cdot s + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$\frac{r s - r^{2} + 3 s \cdot s + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere $s$ mit $s$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.1.3.1

Bewege $s$ .

$\frac{r s - r^{2} + 3 (s \cdot s) + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 4.2.1.3.2

Mutltipliziere $s$ mit $s$ .

$\frac{r s - r^{2} + 3 s^{2} + 3 s (- r) - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 4.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{r s - r^{2} + 3 s^{2} + 3 \cdot - 1 s r - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{r s - r^{2} + 3 s^{2} - 3 s r - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $3 s r$ von $r s$ .

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Schritt 4.2.2.1

Bewege $s$ .

$\frac{- r^{2} + 3 s^{2} + r s - 3 r s - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $3 r s$ von $r s$ .

$\frac{- r^{2} + 3 s^{2} - 2 r s - 3 s^{2}}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $3 s^{2}$ von $3 s^{2}$ .

$\frac{- r^{2} - 2 r s + 0}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 4.4

Addiere $- r^{2} - 2 r s$ und $0$ .

$\frac{- r^{2} - 2 r s}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $r$ aus $- r^{2} - 2 r s$ heraus.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $r$ aus $- r^{2}$ heraus.

$\frac{r (- r) - 2 r s}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $r$ aus $- 2 r s$ heraus.

$\frac{r (- r) + r (- 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere $r$ aus $r (- r) + r (- 2 s)$ heraus.

$\frac{r (- r - 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r}$

Schritt 5

Um $\frac{r}{s - r}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{s + r}{s + r}$ .

$\frac{r (- r - 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r}{s - r} \cdot \frac{s + r}{s + r}$

Schritt 6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(s + r) (s - r)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{r}{s - r}$ mit $\frac{s + r}{s + r}$ .

$\frac{r (- r - 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r (s + r)}{(s - r) (s + r)}$

Schritt 6.2

Stelle die Faktoren von $(s - r) (s + r)$ um.

$\frac{r (- r - 2 s)}{(s + r) (s - r)} + \frac{r (s + r)}{(s + r) (s - r)}$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{r (- r - 2 s) + r (s + r)}{(s + r) (s - r)}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $r$ aus $r (- r - 2 s) + r (s + r)$ heraus.

$\frac{r (- r - 2 s + s + r)}{(s + r) (s - r)}$

Schritt 8.2

Addiere $- r$ und $r$ .

$\frac{r (- 2 s + s + 0)}{(s + r) (s - r)}$

Schritt 8.3

Addiere $- 2 s + s$ und $0$ .

$\frac{r (- 2 s + s)}{(s + r) (s - r)}$

Schritt 8.4

Addiere $- 2 s$ und $s$ .

$\frac{r \cdot - 1 s}{(s + r) (s - r)}$

Schritt 8.5

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- r s}{(s + r) (s - r)}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{r s}{(s + r) (s - r)}$