Algebra Beispiele

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) > 2$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 2$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe in Exponentialform.

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Schritt 2.1.1

Für logarithmische Gleichungen ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ mit $x > 0$ , $b > 0$ , and $b \neq 1$ . In diesem Fall: $b = 3$ , $x = {(x - 1)}^{2}$ und $y = 2$ .

$b = 3$

$x = {(x - 1)}^{2}$

$y = 2$

Schritt 2.1.2

Setze die Werte von $b$ , $x$ , und $y$ in die Gleichung $b^{y} = x$ ein.

$3^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als ${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$ um.

${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$

Schritt 2.2.2

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$| x - 1 | = | 3 |$

Schritt 2.2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.3.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm | 3 |$

Schritt 2.2.3.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$x - 1 = \pm 3$

Schritt 2.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.3.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x - 1 = 3$

Schritt 2.2.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3 + 1$

Schritt 2.2.3.3.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$x = 4$

Schritt 2.2.3.3.3

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x - 1 = - 3$

Schritt 2.2.3.3.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.3.3.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3 + 1$

Schritt 2.2.3.3.4.2

Addiere $- 3$ und $1$ .

$x = - 2$

Schritt 2.2.3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 4, - 2$

Schritt 3

Bestimme den Definitionsbereich von $\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) - 2$ .

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\log_{3} ({(x - 1)}^{2})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

${(x - 1)}^{2} > 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} > \sqrt{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x - 1 | > \sqrt{0}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Vereinfache $\sqrt{0}$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$| x - 1 | > \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x - 1 | > | 0 |$

Schritt 3.2.2.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$| x - 1 | > 0$

Schritt 3.2.3

Schreibe $| x - 1 | > 0$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 3.2.3.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x - 1 \geq 0$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 1$

Schritt 3.2.3.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x - 1$ nicht negativ ist.

$x - 1 > 0$

Schritt 3.2.3.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x - 1 < 0$

Schritt 3.2.3.5

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x < 1$

Schritt 3.2.3.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x - 1$ negativ ist.

$- (x - 1) > 0$

Schritt 3.2.3.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - (x - 1) > 0 & x < 1 \end{cases}$

Schritt 3.2.3.8

Vereinfache $- (x - 1) > 0$ .

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Schritt 3.2.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x - - 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

Schritt 3.2.3.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x + 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

Schritt 3.2.4

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x > 1$

Schritt 3.2.5

Löse $- x + 1 > 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.5.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x > - 1$

Schritt 3.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x > - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.5.2.1

Teile jeden Term in $- x > - 1$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.2.5.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.5.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x < 1$

Schritt 3.2.6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < 1$ oder $x > 1$

Schritt 3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 5.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{3} ({((- 4) - 1)}^{2}) > 2$

Schritt 5.1.3

Die linke Seite $2.92994704$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 5.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{3} ({((0) - 1)}^{2}) > 2$

Schritt 5.2.3

Die linke Seite $0$ ist nicht größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 5.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{3} ({((2) - 1)}^{2}) > 2$

Schritt 5.3.3

Die linke Seite $0$ ist nicht größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 5.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 5.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\log_{3} ({((6) - 1)}^{2}) > 2$

Schritt 5.4.3

Die linke Seite $2.92994704$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 5.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

Schritt 6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 2$ oder $x > 4$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 2 or x > 4$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (4, \infty)$

Schritt 8