Algebra Beispiele

$y = \frac{y {(y^{3})}^{2}}{y^{3}}$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{y {(y^{3})}^{2}}{y^{3}}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y {(y^{3})}^{2}$ heraus.

$y = \frac{y ({(y^{3})}^{2})}{y^{3}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{3}$ heraus.

$y = \frac{y ({(y^{3})}^{2})}{y \cdot y^{2}}$

Schritt 1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{y {(y^{3})}^{2}}{y \cdot y^{2}}$

Schritt 1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{{(y^{3})}^{2}}{y^{2}}$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{3})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{y^{3 \cdot 2}}{y^{2}}$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{y^{6}}{y^{2}}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{6}$ und $y^{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{6}$ heraus.

$y = \frac{y^{2} y^{4}}{y^{2}}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{y^{2} y^{4}}{y^{2} \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{y^{2} y^{4}}{y^{2} \cdot 1}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{y^{4}}{1}$

Schritt 1.3.2.4

Dividiere $y^{4}$ durch $1$ .

$y = y^{4}$

Schritt 2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $y^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - y^{4} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y - y^{4}$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y - y^{4} = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y \cdot 1 - y^{4} = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $y$ aus $- y^{4}$ heraus.

$y \cdot 1 + y (- y^{3}) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- y^{3})$ heraus.

$y (1 - y^{3}) = 0$

Schritt 2.2.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$y (1^{3} - y^{3}) = 0$

Schritt 2.2.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = 1$ und $b = y$ .

$y ((1 - y) (1^{2} + 1 y + y^{2})) = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y ((1 - y) (1 + 1 y + y^{2})) = 0$

Schritt 2.2.4.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y ((1 - y) (1 + y + y^{2})) = 0$

Schritt 2.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$y (1 - y) (1 + y + y^{2}) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y = 0$

$1 - y = 0$

$1 + y + y^{2} = 0$

Schritt 2.4

Setze $y$ gleich $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.5

Setze $1 - y$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $1 - y$ gleich $0$ .

$1 - y = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $1 - y = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = - 1$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$y = 1$

Schritt 2.6

Setze $1 + y + y^{2}$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $1 + y + y^{2}$ gleich $0$ .

$1 + y + y^{2} = 0$

Schritt 2.6.2

Löse $1 + y + y^{2} = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$y = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.6.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $y (1 - y) (1 + y + y^{2}) = 0$ wahr machen.

$y = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$