Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{2} + x + 3}{2 x^{2} + 3 x + 1}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{2 x^{2} + x + 3}{2 x^{2} + 3 x + 1}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x^{2} + x + 3 = 0$

Schritt 1.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 1$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 3)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 1.2.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.1.3

Subtrahiere $24$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 1.2.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 1.2.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.4.1.3

Subtrahiere $24$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.4.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 1.2.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 1.2.2.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 1.2.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{23}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{23})}{4}$

Schritt 1.2.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{23})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{23})}{4}$

Schritt 1.2.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 1.2.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 1.2.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.5.1.3

Subtrahiere $24$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.5.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 1.2.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 1.2.2.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 1.2.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{23}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{23})}{4}$

Schritt 1.2.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{23})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{23})}{4}$

Schritt 1.2.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 1.2.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{23}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{23}}{4}$

Schritt 1.3

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 0 + 3}{2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 1}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 0 + 3}{2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 1}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 0 + 3}{2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 1}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 0 + 3}{2 \cdot 0^{2} + 3 (0) + 1}$

Schritt 2.2.4

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 0 + 3}{2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 1}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $\frac{2 {(0)}^{2} + 0 + 3}{2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 1}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{2 \cdot 0 + 0 + 3}{2 \cdot 0^{2} + 3 (0) + 1}$

Schritt 2.2.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = \frac{0 + 0 + 3}{2 \cdot 0^{2} + 3 (0) + 1}$

Schritt 2.2.5.1.3

Addiere $0$ und $0$ .

$y = \frac{0 + 3}{2 \cdot 0^{2} + 3 (0) + 1}$

Schritt 2.2.5.1.4

Addiere $0$ und $3$ .

$y = \frac{3}{2 \cdot 0^{2} + 3 (0) + 1}$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.5.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{3}{2 \cdot 0 + 3 (0) + 1}$

Schritt 2.2.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = \frac{3}{0 + 3 (0) + 1}$

Schritt 2.2.5.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y = \frac{3}{0 + 0 + 1}$

Schritt 2.2.5.2.4

Addiere $0$ und $0$ .

$y = \frac{3}{0 + 1}$

Schritt 2.2.5.2.5

Addiere $0$ und $1$ .

$y = \frac{3}{1}$

Schritt 2.2.5.3

Dividiere $3$ durch $1$ .

$y = 3$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 3)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $Keine$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 3)$

Schritt 4