Algebra Beispiele

$\sqrt{4 x + 97} > 2 x - 1$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{4 x + 97}}^{2} > {(2 x - 1)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x + 97}$ als ${(4 x + 97)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 x + 97)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(2 x - 1)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(4 x + 97)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x + 97)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x + 97)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(2 x - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 x + 97)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(2 x - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 x + 97)}^{1} > {(2 x - 1)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$4 x + 97 > {(2 x - 1)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(2 x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(2 x - 1)}^{2}$ als $(2 x - 1) (2 x - 1)$ um.

$4 x + 97 > (2 x - 1) (2 x - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(2 x - 1) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 97 > 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 97 > 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x + 97 > 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x + 97 > 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$4 x + 97 > 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x + 97 > 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + 97 > 4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 x + 97 > 4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 x + 97 > 4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1$

Schritt 2.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 x + 97 > 4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$4 x + 97 > 4 x^{2} - 4 x + 1$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$4 x^{2} - 4 x + 1 < 4 x + 97$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x^{2} - 4 x + 1 - 4 x < 97$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$4 x^{2} - 8 x + 1 < 97$

Schritt 3.3

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$4 x^{2} - 8 x + 1 = 97$

Schritt 3.4

Subtrahiere $97$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 8 x + 1 - 97 = 0$

Schritt 3.5

Subtrahiere $97$ von $1$ .

$4 x^{2} - 8 x - 96 = 0$

Schritt 3.6

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 8 x - 96$ heraus.

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Schritt 3.6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$4 (x^{2}) - 8 x - 96 = 0$

Schritt 3.6.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 8 x$ heraus.

$4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) - 96 = 0$

Schritt 3.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 96$ heraus.

$4 x^{2} + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 24 = 0$

Schritt 3.6.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 (- 2 x)$ heraus.

$4 (x^{2} - 2 x) + 4 \cdot - 24 = 0$

Schritt 3.6.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2} - 2 x) + 4 \cdot - 24$ heraus.

$4 (x^{2} - 2 x - 24) = 0$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.6.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 24$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.6.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 24$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 6, 4$

Schritt 3.6.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$4 ((x - 6) (x + 4)) = 0$

Schritt 3.6.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 (x - 6) (x + 4) = 0$

Schritt 3.7

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 3.8

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 3.8.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 3.9

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.9.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 3.9.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 3.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 (x - 6) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 4$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{4 x + 97} - 2 x + 1$ .

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Schritt 4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{4 x + 97}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 x + 97 \geq 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $97$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x \geq - 97$

Schritt 4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq - 97$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq - 97$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 97}{4}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 97}{4}$

Schritt 4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 97}{4}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{97}{4}$

Schritt 4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[- \frac{97}{4}, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{97}{4}$

$- \frac{97}{4} < x < - 4$

$- 4 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{97}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{97}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 27$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 27$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{4 (- 27) + 97} > 2 (- 27) - 1$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{97}{4} < x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{97}{4} < x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{4 (- 6) + 97} > 2 (- 6) - 1$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $8.54400374$ ist größer als die rechte Seite $- 13$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{4 (0) + 97} > 2 (0) - 1$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $9.8488578$ ist größer als die rechte Seite $- 1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 6.4.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{4 (8) + 97} > 2 (8) - 1$

Schritt 6.4.3

Die linke Seite $11.35781669$ ist nicht größer als die rechte Seite $15$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{97}{4}$ Falsch

$- \frac{97}{4} < x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

$x < - \frac{97}{4}$ Falsch

$- \frac{97}{4} < x < - 4$ Wahr

$- 4 < x < 6$ Wahr

$x > 6$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{97}{4} < x < - 4$ oder $- 4 < x < 6$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{97}{4} < x < - 4 or - 4 < x < 6$

Intervallschreibweise:

$(- \frac{97}{4}, - 4) \cup (- 4, 6)$

Schritt 9