Algebra Beispiele

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \div (\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}})$

Schritt 1

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$\frac{\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}}}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{4 x y}{y^{2} - x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{y^{2} - x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}$

Schritt 5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.1

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

Schritt 5.2

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot y + y^{2}}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = y$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(y + x) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Stelle die Terme um.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Schritt 6.2

Um $\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}}}$

Schritt 6.3

Um $\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{(x + y) (y - x)} \cdot \frac{x + y}{x + y} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Schritt 6.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(y - x) {(x + y)}^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{(x + y) (y - x)}$ mit $\frac{x + y}{x + y}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{(x + y) (y - x) (x + y)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Schritt 6.4.2

Potenziere $x + y$ mit $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} (x + y) (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Schritt 6.4.3

Potenziere $x + y$ mit $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1} {(x + y)}^{1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Schritt 6.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{1 + 1} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Schritt 6.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{1}{{(x + y)}^{2}} \cdot \frac{y - x}{y - x}}$

Schritt 6.4.6

Mutltipliziere $\frac{1}{{(x + y)}^{2}}$ mit $\frac{y - x}{y - x}$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)} + \frac{y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Schritt 6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Schritt 6.6

Schreibe $\frac{x + y + y - x}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 6.6.1

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y + 0}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Schritt 6.6.2

Addiere $y + y$ und $0$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{y + y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Schritt 6.6.3

Addiere $y$ und $y$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x)} \cdot \frac{1}{\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Kombinieren.

$\frac{4 x y \cdot 1}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$

Schritt 8

Faktorisiere $\frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}$ aus $\frac{4 x y}{(y + x) (y - x) \frac{2 y}{{(x + y)}^{2} (y - x)}}$ heraus.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x)}{2 y} \cdot \frac{4 x y}{(y + x) (y - x)}$

Schritt 9

Kombinieren.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - x$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x + y)}^{2} (y - x) (4 x y)}{2 y ((y + x) (y - x))}$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x + y)}^{2} (4 x y)}{2 y (y + x)}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 11.1

Faktorisiere $2$ aus ${(x + y)}^{2} (4 x y)$ heraus.

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 y (y + x)}$

Schritt 11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (y + x)$ heraus.

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

Schritt 11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 ({(x + y)}^{2} (2 x y))}{2 (y (y + x))}$

Schritt 11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x y)}{y (y + x)}$

Schritt 12.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{y + x}$

Schritt 13

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x + y)}^{2}$ und $y + x$ .

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Schritt 13.1

Stelle die Terme um.

$\frac{{(x + y)}^{2} (2 x)}{x + y}$

Schritt 13.2

Faktorisiere $x + y$ aus ${(x + y)}^{2} (2 x)$ heraus.

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{x + y}$

Schritt 13.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

Schritt 13.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + y) ((x + y) (2 x))}{(x + y) \cdot 1}$

Schritt 13.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + y) (2 x)}{1}$

Schritt 13.3.4

Dividiere $(x + y) (2 x)$ durch $1$ .

$(x + y) (2 x)$

Schritt 14

Wende das Distributivgesetz an.

$x (2 x) + y (2 x)$

Schritt 15

Stelle um.

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Schritt 15.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x \cdot x + y (2 x)$

Schritt 15.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 x \cdot x + 2 y x$

Schritt 16

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 16.1

Bewege $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 y x$

Schritt 16.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 x^{2} + 2 y x$