Algebra Beispiele

$\frac{1}{27} x^{3} + \frac{1}{125} y^{3}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{27} x^{3}$ als ${(\frac{1}{3} x)}^{3}$ um.

${(\frac{1}{3} x)}^{3} + \frac{1}{125} y^{3}$

Schritt 2

Schreibe $\frac{1}{125} y^{3}$ als ${(\frac{1}{5} y)}^{3}$ um.

${(\frac{1}{3} x)}^{3} + {(\frac{1}{5} y)}^{3}$

Schritt 3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = \frac{1}{3} x$ und $b = \frac{1}{5} y$ .

$(\frac{1}{3} x + \frac{1}{5} y) ({(\frac{1}{3} x)}^{2} - (\frac{1}{3} x) (\frac{1}{5} y) + {(\frac{1}{5} y)}^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{1}{5} y) ({(\frac{1}{3} x)}^{2} - (\frac{1}{3} x) (\frac{1}{5} y) + {(\frac{1}{5} y)}^{2})$

Schritt 4.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $y$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{y}{5}) ({(\frac{1}{3} x)}^{2} - (\frac{1}{3} x) (\frac{1}{5} y) + {(\frac{1}{5} y)}^{2})$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{y}{5}) ({(\frac{x}{3})}^{2} - (\frac{1}{3} x) (\frac{1}{5} y) + {(\frac{1}{5} y)}^{2})$

Schritt 4.4

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{3}$ an.

$(\frac{x}{3} + \frac{y}{5}) (\frac{x^{2}}{3^{2}} - (\frac{1}{3} x) (\frac{1}{5} y) + {(\frac{1}{5} y)}^{2})$

Schritt 4.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{y}{5}) (\frac{x^{2}}{9} - (\frac{1}{3} x) (\frac{1}{5} y) + {(\frac{1}{5} y)}^{2})$

Schritt 4.6

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{y}{5}) (\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{3} (\frac{1}{5} y) + {(\frac{1}{5} y)}^{2})$

Schritt 4.7

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $y$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{y}{5}) (\frac{x^{2}}{9} - \frac{x}{3} \cdot \frac{y}{5} + {(\frac{1}{5} y)}^{2})$

Schritt 4.8

Multipliziere $- \frac{x}{3} \cdot \frac{y}{5}$ .

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $\frac{y}{5}$ mit $\frac{x}{3}$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{y}{5}) (\frac{x^{2}}{9} - \frac{y x}{5 \cdot 3} + {(\frac{1}{5} y)}^{2})$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{y}{5}) (\frac{x^{2}}{9} - \frac{y x}{15} + {(\frac{1}{5} y)}^{2})$

Schritt 4.9

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $y$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{y}{5}) (\frac{x^{2}}{9} - \frac{y x}{15} + {(\frac{y}{5})}^{2})$

Schritt 4.10

Wende die Produktregel auf $\frac{y}{5}$ an.

$(\frac{x}{3} + \frac{y}{5}) (\frac{x^{2}}{9} - \frac{y x}{15} + \frac{y^{2}}{5^{2}})$

Schritt 4.11

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(\frac{x}{3} + \frac{y}{5}) (\frac{x^{2}}{9} - \frac{y x}{15} + \frac{y^{2}}{25})$

Schritt 4.12

Faktorisiere.

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Schritt 4.12.1

Faktorisiere $\frac{1}{225}$ aus jedem Term raus.

$(\frac{x}{3} + \frac{y}{5}) (\frac{1}{225} (25 x^{2} - 15 y x + 9 y^{2}))$

Schritt 4.12.2

Entferne unnötige Klammern.

$(\frac{x}{3} + \frac{y}{5}) \frac{1}{225} (25 x^{2} - 15 y x + 9 y^{2})$