Algebra Beispiele

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} < \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4}$

Schritt 1

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2} + 2 x$ .

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 2 x$ .

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Schritt 2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12}{x^{2} + 2 x} (x^{2} + 2 x) = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Schritt 2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\frac{3}{x^{2} + 4 x + 4} (x^{2} + 2 x)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.2.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Schritt 2.2.1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Schritt 2.2.1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$12 = \frac{3}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Schritt 2.2.1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$12 = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} (x^{2} + 2 x)$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ mit $x^{2} + 2 x$ .

$12 = \frac{3 (x^{2} + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 2 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$12 = \frac{3 (x \cdot x + 2 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.2.1.3.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$12 = \frac{3 (x \cdot x + x \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.2.1.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 2$ heraus.

$12 = \frac{3 (x (x + 2))}{{(x + 2)}^{2}}$

$12 = \frac{3 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 2$ und ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.4.1

Faktorisiere $x + 2$ aus $3 x (x + 2)$ heraus.

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 2.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.4.2.1

Faktorisiere $x + 2$ aus ${(x + 2)}^{2}$ heraus.

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

Schritt 2.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 = \frac{(x + 2) (3 x)}{(x + 2) (x + 2)}$

Schritt 2.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$12 = \frac{3 x}{x + 2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ um.

$\frac{3 x}{x + 2} = 12$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x + 2, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$x + 2, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x + 2$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ mit $x + 2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3 x}{x + 2} = 12$ mit $x + 2$ .

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{x + 2} (x + 2) = 12 (x + 2)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 x = 12 (x + 2)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x = 12 x + 12 \cdot 2$

Schritt 3.3.3.2

Mutltipliziere $12$ mit $2$ .

$3 x = 12 x + 24$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1.1

Subtrahiere $12 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x - 12 x = 24$

Schritt 3.4.1.2

Subtrahiere $12 x$ von $3 x$ .

$- 9 x = 24$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 9 x = 24$ durch $- 9$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 9 x = 24$ durch $- 9$ .

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 x}{- 9} = \frac{24}{- 9}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{24}{- 9}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $- 9$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{3 (8)}{- 9}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

Schritt 3.4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot - 3}$

Schritt 3.4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{8}{- 3}$

Schritt 3.4.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{8}{3}$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{12}{x (x + 2)} - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ .

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{12}{x (x + 2)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (x + 2) = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Schritt 4.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.2.3

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.2.3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2$

Schritt 4.3

Setze den Nenner in $\frac{3}{{(x + 2)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Schritt 4.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{8}{3}$

$- \frac{8}{3} < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{8}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{8}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{12}{{(- 5)}^{2} + 2 (- 5)} < \frac{3}{{(- 5)}^{2} + 4 (- 5) + 4}$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $0.8$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{8}{3} < x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{8}{3} < x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2.33$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2.33$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{12}{{(- 2.33)}^{2} + 2 (- 2.33)} < \frac{3}{{(- 2.33)}^{2} + 4 (- 2.33) + 4}$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite $15.60671088$ ist kleiner als die rechte Seite $27.54820936$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{12}{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1)} < \frac{3}{{(- 1)}^{2} + 4 (- 1) + 4}$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $- 12$ ist kleiner als die rechte Seite $3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 6.4.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{12}{{(2)}^{2} + 2 (2)} < \frac{3}{{(2)}^{2} + 4 (2) + 4}$

Schritt 6.4.3

Die linke Seite $1.5$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0.1875$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{8}{3}$ Falsch

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

$x < - \frac{8}{3}$ Falsch

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{8}{3} < x < - 2$ oder $- 2 < x < 0$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{8}{3} < x < - 2 or - 2 < x < 0$

Intervallschreibweise:

$(- \frac{8}{3}, - 2) \cup (- 2, 0)$

Schritt 9