Algebra Beispiele

$\frac{\frac{2 a}{9 b} - \frac{b}{2 a}}{\frac{a}{3 b^{2}} + \frac{1}{2 b}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $18 a b^{2}$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{2 a}{9 b} - \frac{b}{2 a}}{\frac{a}{3 b^{2}} + \frac{1}{2 b}}$ mit $\frac{18 a b^{2}}{18 a b^{2}}$ .

$\frac{18 a b^{2}}{18 a b^{2}} \cdot \frac{\frac{2 a}{9 b} - \frac{b}{2 a}}{\frac{a}{3 b^{2}} + \frac{1}{2 b}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{18 a b^{2} (\frac{2 a}{9 b} - \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} (\frac{a}{3 b^{2}} + \frac{1}{2 b})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{18 a b^{2} \frac{2 a}{9 b} + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9 b$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $9 b$ aus $18 a b^{2}$ heraus.

$\frac{9 b (2 a b) \frac{2 a}{9 b} + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 b (2 a b) \frac{2 a}{9 b} + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 a b (2 a) + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 a b a + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.3

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{4 (a^{1} a) b + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.4

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{4 (a^{1} a^{1}) b + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 a^{1 + 1} b + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 a^{2} b + 18 a b^{2} (- \frac{b}{2 a})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 a$ .

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Schritt 3.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{b}{2 a}$ in den Zähler.

$\frac{4 a^{2} b + 18 a b^{2} \frac{- b}{2 a}}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.7.2

Faktorisiere $2 a$ aus $18 a b^{2}$ heraus.

$\frac{4 a^{2} b + 2 a (9 b^{2}) \frac{- b}{2 a}}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 a^{2} b + 2 a (9 b^{2}) \frac{- b}{2 a}}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 a^{2} b + 9 b^{2} (- b)}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{2} b}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.9

Potenziere $b$ mit $1$ .

$\frac{4 a^{2} b - 9 (b^{1} b^{2})}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{1 + 2}}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.11

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{18 a b^{2} \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 b^{2}$ .

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Schritt 3.12.1

Faktorisiere $3 b^{2}$ aus $18 a b^{2}$ heraus.

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{3 b^{2} (6 a) \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{3 b^{2} (6 a) \frac{a}{3 b^{2}} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{6 a \cdot a + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.13

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{6 (a^{1} a) + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.14

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{6 (a^{1} a^{1}) + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.15

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{6 a^{1 + 1} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.16

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{6 a^{2} + 18 a b^{2} \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 b$ .

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Schritt 3.17.1

Faktorisiere $2 b$ aus $18 a b^{2}$ heraus.

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{6 a^{2} + 2 b (9 a b) \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.17.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{6 a^{2} + 2 b (9 a b) \frac{1}{2 b}}$

Schritt 3.17.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 a^{2} b - 9 b^{3}}{6 a^{2} + 9 a b}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $b$ aus $4 a^{2} b - 9 b^{3}$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $b$ aus $4 a^{2} b$ heraus.

$\frac{b (4 a^{2}) - 9 b^{3}}{6 a^{2} + 9 a b}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $b$ aus $- 9 b^{3}$ heraus.

$\frac{b (4 a^{2}) + b (- 9 b^{2})}{6 a^{2} + 9 a b}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $b$ aus $b (4 a^{2}) + b (- 9 b^{2})$ heraus.

$\frac{b (4 a^{2} - 9 b^{2})}{6 a^{2} + 9 a b}$

Schritt 4.2

Schreibe $4 a^{2}$ als ${(2 a)}^{2}$ um.

$\frac{b ({(2 a)}^{2} - 9 b^{2})}{6 a^{2} + 9 a b}$

Schritt 4.3

Schreibe $9 b^{2}$ als ${(3 b)}^{2}$ um.

$\frac{b ({(2 a)}^{2} - {(3 b)}^{2})}{6 a^{2} + 9 a b}$

Schritt 4.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 a$ und $b = 3 b$ .

$\frac{b ((2 a + 3 b) (2 a - (3 b)))}{6 a^{2} + 9 a b}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{b (2 a + 3 b) (2 a - 3 b)}{6 a^{2} + 9 a b}$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $3 a$ aus $6 a^{2} + 9 a b$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $3 a$ aus $6 a^{2}$ heraus.

$\frac{b (2 a + 3 b) (2 a - 3 b)}{3 a (2 a) + 9 a b}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $3 a$ aus $9 a b$ heraus.

$\frac{b (2 a + 3 b) (2 a - 3 b)}{3 a (2 a) + 3 a (3 b)}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $3 a$ aus $3 a (2 a) + 3 a (3 b)$ heraus.

$\frac{b (2 a + 3 b) (2 a - 3 b)}{3 a (2 a + 3 b)}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 a + 3 b$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{b (2 a + 3 b) (2 a - 3 b)}{3 a (2 a + 3 b)}$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{b (2 a - 3 b)}{3 a}$