Algebra Beispiele

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 y^{2} + 225 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $225$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 {(x - 2)}^{2} - 16 y^{2} = - 225$

Schritt 1.2

Vertausche das Vorzeichen jedes Terms der Gleichung, sodass der Term auf der rechten Seite positiv ist.

$- 9 {(x - 2)}^{2} + 16 y^{2} = 225$

Schritt 1.3

Teile jeden Term durch $225$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$- \frac{9 {(x - 2)}^{2}}{225} + \frac{16 y^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

Schritt 1.4

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{y^{2}}{\frac{225}{16}} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{25} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = \frac{15}{4}$

$b = 5$

$k = 0$

$h = 2$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(2, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(\frac{15}{4})}^{2} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{15}{4}$ an.

$\sqrt{\frac{15^{2}}{4^{2}} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $15$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{225}{4^{2}} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{225}{16} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{225}{16} + 25}$

Schritt 5.3.5

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{225}{16} + 25 \cdot \frac{16}{16}}$

Schritt 5.3.6

Kombiniere $25$ und $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{225}{16} + \frac{25 \cdot 16}{16}}$

Schritt 5.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{225 + 25 \cdot 16}{16}}$

Schritt 5.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.8.1

Mutltipliziere $25$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{225 + 400}{16}}$

Schritt 5.3.8.2

Addiere $225$ und $400$ .

$\sqrt{\frac{625}{16}}$

Schritt 5.3.9

Schreibe $\sqrt{\frac{625}{16}}$ als $\frac{\sqrt{625}}{\sqrt{16}}$ um.

$\frac{\sqrt{625}}{\sqrt{16}}$

Schritt 5.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.10.1

Schreibe $625$ als $25^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{25^{2}}}{\sqrt{16}}$

Schritt 5.3.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{25}{\sqrt{16}}$

Schritt 5.3.11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.11.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{25}{\sqrt{4^{2}}}$

Schritt 5.3.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{25}{4}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $k$ ermittelt werden.

$(h, k + a)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, \frac{15}{4})$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - a)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, - \frac{15}{4})$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm a)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(2, \frac{15}{4}), (2, - \frac{15}{4})$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $k$ gefunden werden.

$(h, k + c)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, \frac{25}{4})$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $k$ ermittelt werden.

$(h, k - c)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(2, - \frac{25}{4})$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(2, \frac{25}{4}), (2, - \frac{25}{4})$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(\frac{15}{4})}^{2} + {(5)}^{2}}}{\frac{15}{4}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{{(\frac{15}{4})}^{2} + 5^{2}} \frac{4}{15}$

Schritt 8.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{15}{4}$ an.

$\sqrt{\frac{15^{2}}{4^{2}} + 5^{2}} \frac{4}{15}$

Schritt 8.3.3

Potenziere $15$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{225}{4^{2}} + 5^{2}} \frac{4}{15}$

Schritt 8.3.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{225}{16} + 5^{2}} \frac{4}{15}$

Schritt 8.3.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{225}{16} + 25} \frac{4}{15}$

Schritt 8.3.6

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{225}{16} + 25 \cdot \frac{16}{16}} \frac{4}{15}$

Schritt 8.3.7

Kombiniere $25$ und $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{225}{16} + \frac{25 \cdot 16}{16}} \frac{4}{15}$

Schritt 8.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{225 + 25 \cdot 16}{16}} \frac{4}{15}$

Schritt 8.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.9.1

Mutltipliziere $25$ mit $16$ .

$\sqrt{\frac{225 + 400}{16}} \frac{4}{15}$

Schritt 8.3.9.2

Addiere $225$ und $400$ .

$\sqrt{\frac{625}{16}} \frac{4}{15}$

Schritt 8.3.10

Schreibe $\sqrt{\frac{625}{16}}$ als $\frac{\sqrt{625}}{\sqrt{16}}$ um.

$\frac{\sqrt{625}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{15}$

Schritt 8.3.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.11.1

Schreibe $625$ als $25^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{25^{2}}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{15}$

Schritt 8.3.11.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{25}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{15}$

Schritt 8.3.12

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.12.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{25}{\sqrt{4^{2}}} \cdot \frac{4}{15}$

Schritt 8.3.12.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{25}{4} \cdot \frac{4}{15}$

Schritt 8.3.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.3.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.3.13.1.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{5 (5)}{4} \cdot \frac{4}{15}$

Schritt 8.3.13.1.2

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$\frac{5 \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{5 \cdot 3}$

Schritt 8.3.13.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{5 \cdot 3}$

Schritt 8.3.13.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Schritt 8.3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 8.3.13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Schritt 8.3.13.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5 (\frac{1}{3})$

Schritt 8.3.13.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{\frac{5^{2}}{25}}{4}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{5^{2}}{25} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 9.3.2

Kombinieren.

$\frac{5^{2} \cdot 1}{25 \cdot 4}$

Schritt 9.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.3.1

Mutltipliziere $5^{2}$ mit $1$ .

$\frac{5^{2}}{25 \cdot 4}$

Schritt 9.3.3.2

Mutltipliziere $25$ mit $4$ .

$\frac{5^{2}}{100}$

Schritt 9.3.3.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{25}{100}$

Schritt 9.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $25$ und $100$ .

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Schritt 9.3.4.1

Faktorisiere $25$ aus $25$ heraus.

$\frac{25 (1)}{100}$

Schritt 9.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.4.2.1

Faktorisiere $25$ aus $100$ heraus.

$\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}$

Schritt 9.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 \cdot 1}{25 \cdot 4}$

Schritt 9.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , da diese Hyperbel nach oben und unten offen ist.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) + 0$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) + 0$

Schritt 11.2

Vereinfache $\frac{3}{4} \cdot (x - (2)) + 0$ .

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Schritt 11.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.1.1

Addiere $\frac{3}{4} \cdot (x - (2))$ und $0$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (2))$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 2)$

Schritt 11.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Schritt 11.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 (2)} \cdot - 2$

Schritt 11.2.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 11.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 11.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2} \cdot - 1$

Schritt 11.2.5

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{2}$

Schritt 11.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.2.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 11.2.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2}$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) + 0$

Schritt 12.2

Vereinfache $- \frac{3}{4} \cdot (x - (2)) + 0$ .

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Schritt 12.2.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.2.1.1

Addiere $- \frac{3}{4} \cdot (x - (2))$ und $0$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (2))$

Schritt 12.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 2)$

Schritt 12.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 2$

Schritt 12.2.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 2$

Schritt 12.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot - 2$

Schritt 12.2.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 (2)} \cdot - 2$

Schritt 12.2.1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 12.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 12.2.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{2} \cdot - 1$

Schritt 12.2.1.6

Kombiniere $\frac{- 3}{2}$ und $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3 \cdot - 1}{2}$

Schritt 12.2.1.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3}{2}$

Schritt 12.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2}$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2}$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(2, 0)$

Scheitelpunkte: $(2, \frac{15}{4}), (2, - \frac{15}{4})$

Brennpunkte: $(2, \frac{25}{4}), (2, - \frac{25}{4})$

Exzentrizität: $\frac{5}{3}$

Fokaler Parameter: $\frac{1}{4}$

Asymptoten: $y = \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2}$ , $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2}$

Schritt 15