Algebra Beispiele

${(\frac{2}{3})}^{x - 5} = {(\frac{9}{4})}^{\frac{3 x}{4}}$

Schritt 1

Logarithmiere beide Seiten der Gleichung.

$\ln ({(\frac{2}{3})}^{x - 5}) = \ln ({(\frac{9}{4})}^{\frac{3 x}{4}})$

Schritt 2

Zerlege $\ln ({(\frac{2}{3})}^{x - 5})$ durch Herausziehen von $x - 5$ aus dem Logarithmus.

$(x - 5) \ln (\frac{2}{3}) = \ln ({(\frac{9}{4})}^{\frac{3 x}{4}})$

Schritt 3

Schreibe $\ln (\frac{2}{3})$ als $\ln (2) - \ln (3)$ um.

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \ln ({(\frac{9}{4})}^{\frac{3 x}{4}})$

Schritt 4

Zerlege $\ln ({(\frac{9}{4})}^{\frac{3 x}{4}})$ durch Herausziehen von $\frac{3 x}{4}$ aus dem Logarithmus.

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x}{4} \ln (\frac{9}{4})$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{3 x}{4}$ und $\ln (\frac{9}{4})$ .

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x \ln (\frac{9}{4})}{4}$

Schritt 6

Schreibe $\ln (\frac{9}{4})$ als $\ln (9) - \ln (4)$ um.

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x (\ln (9) - \ln (4))}{4}$

Schritt 7

Schreibe $\ln (4)$ als $\ln (2^{2})$ um.

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x (\ln (9) - \ln (2^{2}))}{4}$

Schritt 8

Zerlege $\ln (2^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x (\ln (9) - (2 \ln (2)))}{4}$

Schritt 9

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4}$

Schritt 10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 10.1

Multipliziere beide Seiten mit $4$ .

$(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1.1

Vereinfache $(x - 5) (\ln (2) - \ln (3)) \cdot 4$ .

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Schritt 10.2.1.1.1

Multipliziere $(x - 5) (\ln (2) - \ln (3))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.2.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x (\ln (2) - \ln (3)) - 5 (\ln (2) - \ln (3))) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Schritt 10.2.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \ln (2) + x (- \ln (3)) - 5 (\ln (2) - \ln (3))) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Schritt 10.2.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \ln (2) + x (- \ln (3)) - 5 \ln (2) - 5 (- \ln (3))) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Schritt 10.2.1.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.2.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x \ln (2) - x \ln (3) - 5 \ln (2) - 5 (- \ln (3))) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Schritt 10.2.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$(x \ln (2) - x \ln (3) - 5 \ln (2) + 5 \ln (3)) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Schritt 10.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \ln (2) \cdot 4 - x \ln (3) \cdot 4 - 5 \ln (2) \cdot 4 + 5 \ln (3) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Schritt 10.2.1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1.1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x \ln (2)$ .

$4 \cdot (x \ln (2)) - x \ln (3) \cdot 4 - 5 \ln (2) \cdot 4 + 5 \ln (3) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Schritt 10.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 \cdot (x \ln (2)) - 4 x \ln (3) - 5 \ln (2) \cdot 4 + 5 \ln (3) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Schritt 10.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$4 \cdot (x \ln (2)) - 4 x \ln (3) - 20 \ln (2) + 5 \ln (3) \cdot 4 = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Schritt 10.2.1.1.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$4 \cdot (x \ln (2)) - 4 x \ln (3) - 20 \ln (2) + 20 \ln (3) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Schritt 10.2.1.1.4

Entferne die Klammern.

$4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) - 20 \ln (2) + 20 \ln (3) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Schritt 10.2.1.1.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.2.1.1.5.1

Bewege $- 20 \ln (2)$ .

$4 x \ln (2) - 4 x \ln (3) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Schritt 10.2.1.1.5.2

Stelle $4 x \ln (2)$ und $- 4 x \ln (3)$ um.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Schritt 10.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.1

Vereinfache $\frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$ .

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Schritt 10.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.2.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = \frac{3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))}{4} \cdot 4$

Schritt 10.2.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = 3 x (\ln (9) - 2 \ln (2))$

Schritt 10.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = 3 x \ln (9) + 3 x (- 2 \ln (2))$

Schritt 10.2.2.1.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.2.2.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = 3 x \ln (9) + 3 \cdot - 2 x \ln (2)$

Schritt 10.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) = 3 x \ln (9) - 6 x \ln (2)$

Schritt 10.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.3.1.1

Subtrahiere $3 x \ln (9)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) - 3 x \ln (9) = - 6 x \ln (2)$

Schritt 10.3.1.2

Addiere $6 x \ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x \ln (3) + 4 x \ln (2) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) - 3 x \ln (9) + 6 x \ln (2) = 0$

Schritt 10.3.1.3

Addiere $4 x \ln (2)$ und $6 x \ln (2)$ .

$- 4 x \ln (3) + 20 \ln (3) - 20 \ln (2) - 3 x \ln (9) + 10 x \ln (2) = 0$

Schritt 10.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.3.2.1

Subtrahiere $20 \ln (3)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x \ln (3) - 20 \ln (2) - 3 x \ln (9) + 10 x \ln (2) = - 20 \ln (3)$

Schritt 10.3.2.2

Addiere $20 \ln (2)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x \ln (3) - 3 x \ln (9) + 10 x \ln (2) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Schritt 10.3.3

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x \ln (3) - 3 x \ln (9) + 10 x \ln (2)$ heraus.

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Schritt 10.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x \ln (3)$ heraus.

$x (- 4 \ln (3)) - 3 x \ln (9) + 10 x \ln (2) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Schritt 10.3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x \ln (9)$ heraus.

$x (- 4 \ln (3)) + x (- 3 \ln (9)) + 10 x \ln (2) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Schritt 10.3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $10 x \ln (2)$ heraus.

$x (- 4 \ln (3)) + x (- 3 \ln (9)) + x (10 \ln (2)) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Schritt 10.3.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x (- 4 \ln (3)) + x (- 3 \ln (9))$ heraus.

$x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9)) + x (10 \ln (2)) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Schritt 10.3.3.5

Faktorisiere $x$ aus $x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9)) + x (10 \ln (2))$ heraus.

$x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$

Schritt 10.3.4

Teile jeden Ausdruck in $x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$ durch $- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 10.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)) = - 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$ durch $- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)$ .

$\frac{x (- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)} = \frac{- 20 \ln (3)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)} + \frac{20 \ln (2)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Schritt 10.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)$ .

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Schritt 10.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 10.3.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 20 \ln (3)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)} + \frac{20 \ln (2)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Schritt 10.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{- 20 \ln (3) + 20 \ln (2)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Schritt 10.3.4.3.2

Faktorisiere $20$ aus $- 20 \ln (3) + 20 \ln (2)$ heraus.

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Schritt 10.3.4.3.2.1

Faktorisiere $20$ aus $- 20 \ln (3)$ heraus.

$x = \frac{20 (- \ln (3)) + 20 \ln (2)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Schritt 10.3.4.3.2.2

Faktorisiere $20$ aus $20 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{20 (- \ln (3)) + 20 \ln (2)}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Schritt 10.3.4.3.2.3

Faktorisiere $20$ aus $20 (- \ln (3)) + 20 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{20 (- \ln (3) + \ln (2))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Schritt 10.3.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (3)$ heraus.

$x = \frac{20 (- \ln (3) + \ln (2))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Schritt 10.3.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (2)$ heraus.

$x = \frac{20 (- \ln (3) - 1 (- \ln (2)))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Schritt 10.3.4.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (3) - 1 (- \ln (2))$ heraus.

$x = \frac{20 (- (\ln (3) - \ln (2)))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Schritt 10.3.4.3.6

Schreibe $- (\ln (3) - \ln (2))$ als $- 1 (\ln (3) - \ln (2))$ um.

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- 4 \ln (3) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Schritt 10.3.4.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 \ln (3)$ heraus.

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- (4 \ln (3)) - 3 \ln (9) + 10 \ln (2)}$

Schritt 10.3.4.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \ln (9)$ heraus.

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- (4 \ln (3)) - (3 \ln (9)) + 10 \ln (2)}$

Schritt 10.3.4.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 \ln (3)) - (3 \ln (9))$ heraus.

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- (4 \ln (3) + 3 \ln (9)) + 10 \ln (2)}$

Schritt 10.3.4.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $10 \ln (2)$ heraus.

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- (4 \ln (3) + 3 \ln (9)) - (- 10 \ln (2))}$

Schritt 10.3.4.3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 \ln (3) + 3 \ln (9)) - (- 10 \ln (2))$ heraus.

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- (4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2))}$

Schritt 10.3.4.3.12

Schreibe $- (4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2))$ als $- 1 (4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2))$ um.

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- 1 (4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2))}$

Schritt 10.3.4.3.13

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{20 (- 1 (\ln (3) - \ln (2)))}{- 1 (4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2))}$

Schritt 10.3.4.3.14

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{20 (\ln (3) - \ln (2))}{4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2)}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{20 (\ln (3) - \ln (2))}{4 \ln (3) + 3 \ln (9) - 10 \ln (2)}$

Dezimalform:

$x = 2$