Algebra Beispiele

$\frac{5}{4 x} - \frac{x + 2}{3} = x - 1$

Schritt 1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 1.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Zerlege den Bruch $\frac{x + 2}{3}$ in zwei Brüche.

$\frac{5}{4 x} - (\frac{x}{3} + \frac{2}{3}) = x - 1$

Schritt 1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5}{4 x} - \frac{x}{3} - \frac{2}{3} = x - 1$

Schritt 1.2

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5}{4 x} - \frac{x}{3} - \frac{2}{3} - x = - 1$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{5}{4 x} - \frac{x}{3} - \frac{2}{3} - x + 1 = 0$

Schritt 1.3

Vereinfache $\frac{5}{4 x} - \frac{x}{3} - \frac{2}{3} - x + 1$ .

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Schritt 1.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{4 x} - \frac{x}{3} - x - \frac{2}{3} + \frac{3}{3} = 0$

Schritt 1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{4 x} - \frac{x}{3} - x + \frac{- 2 + 3}{3} = 0$

Schritt 1.3.3

Addiere $- 2$ und $3$ .

$\frac{5}{4 x} - \frac{x}{3} - x + \frac{1}{3} = 0$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$4 x, 3, 1, 3, 1$

Schritt 2.2

Da $4 x, 3, 1, 3, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $4, 3, 1, 3, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{1}$ .

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

$4$ hat Faktoren von $2$ und $2$ .

$2 \cdot 2$

Schritt 2.5

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 2.6

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.7

Da $3$ keine Teiler außer $1$ und $3$ hat.

$3$ ist eine Primzahl

Schritt 2.8

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.9

Das kgV von $4, 3, 1, 3, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Schritt 2.10

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 3$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12$

Schritt 2.11

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 2.12

Das kgV von $x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x$

Schritt 2.13

Das kgV von $4 x, 3, 1, 3, 1$ ist der numerische Teil $12$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$12 x$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{5}{4 x} - \frac{x}{3} - x + \frac{1}{3} = 0$ mit $12 x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{5}{4 x} - \frac{x}{3} - x + \frac{1}{3} = 0$ mit $12 x$ .

$\frac{5}{4 x} (12 x) - \frac{x}{3} (12 x) - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 \frac{5}{4 x} x - \frac{x}{3} (12 x) - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$4 (3) \frac{5}{4 x} x - \frac{x}{3} (12 x) - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$4 (3) \frac{5}{4 (x)} x - \frac{x}{3} (12 x) - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \cdot 3 \frac{5}{4 x} x - \frac{x}{3} (12 x) - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$3 \frac{5}{x} x - \frac{x}{3} (12 x) - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.3

Kombiniere $3$ und $\frac{5}{x}$ .

$\frac{3 \cdot 5}{x} x - \frac{x}{3} (12 x) - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{15}{x} x - \frac{x}{3} (12 x) - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15}{x} x - \frac{x}{3} (12 x) - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$15 - \frac{x}{3} (12 x) - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{3}$ in den Zähler.

$15 + \frac{- x}{3} (12 x) - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.6.2

Faktorisiere $3$ aus $12 x$ heraus.

$15 + \frac{- x}{3} (3 (4 x)) - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$15 + \frac{- x}{3} (3 (4 x)) - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$15 - x (4 x) - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$15 - 4 x \cdot x - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$15 - 4 (x^{1} x) - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$15 - 4 (x^{1} x^{1}) - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$15 - 4 x^{1 + 1} - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.11

Addiere $1$ und $1$ .

$15 - 4 x^{2} - x (12 x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$15 - 4 x^{2} - 1 \cdot 12 x \cdot x + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.13

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.13.1

Bewege $x$ .

$15 - 4 x^{2} - 1 \cdot 12 (x \cdot x) + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.13.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$15 - 4 x^{2} - 1 \cdot 12 x^{2} + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$15 - 4 x^{2} - 12 x^{2} + \frac{1}{3} (12 x) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.15.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x$ heraus.

$15 - 4 x^{2} - 12 x^{2} + \frac{1}{3} (3 (4 x)) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$15 - 4 x^{2} - 12 x^{2} + \frac{1}{3} (3 (4 x)) = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.1.15.3

Forme den Ausdruck um.

$15 - 4 x^{2} - 12 x^{2} + 4 x = 0 (12 x)$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $12 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$15 - 16 x^{2} + 4 x = 0 (12 x)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $0 (12 x)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$15 - 16 x^{2} + 4 x = 0 x$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$15 - 16 x^{2} + 4 x = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2

Setze die Werte $a = - 16$ , $b = 4$ und $c = 15$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 16 \cdot 15)}}{2 \cdot - 16}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 16 \cdot 15}}{2 \cdot - 16}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 16 \cdot 15$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 64 \cdot 15}}{2 \cdot - 16}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $64$ mit $15$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 960}}{2 \cdot - 16}$

Schritt 4.3.1.3

Addiere $16$ und $960$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{976}}{2 \cdot - 16}$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe $976$ als $4^{2} \cdot 61$ um.

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Schritt 4.3.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $976$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (61)}}{2 \cdot - 16}$

Schritt 4.3.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 61}}{2 \cdot - 16}$

Schritt 4.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{61}}{2 \cdot - 16}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{61}}{- 32}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{61}}{- 32}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{8}$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{61}}{8}, \frac{1 - \sqrt{61}}{8}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{8}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{8}$

Dezimalform:

$x = 1.10128120 \dots, - 0.85128120 \dots$