Algebra Beispiele

$2^{x} + 2^{- x} = 2$

Schritt 1

Schreibe $2^{- x}$ als Potenz um.

$2^{x} + {(2^{x})}^{- 1} = 2$

Schritt 2

Ersetze $2^{x}$ durch $u$ .

$u + u^{- 1} = 2$

Schritt 3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 2$

Schritt 4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 4.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 4.2

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{1}{u} = 2$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere jeden Term in $u + \frac{1}{u} = 2$ mit $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 2 u$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 u$

Schritt 4.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 u$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{2} + 1 = 2 u$

Schritt 4.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $2 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u^{2} + 1 - 2 u = 0$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.3.2.1

Ordne Terme um.

$u^{2} - 2 u + 1 = 0$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$u^{2} - 2 u + 1^{2} = 0$

Schritt 4.3.2.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 4.3.2.4

Schreibe das Polynom neu.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Schritt 4.3.2.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Schritt 4.3.3

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 4.3.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 5

Setze $1$ für $u$ in $u = 2^{x}$ ein.

$1 = 2^{x}$

Schritt 6

Löse $1 = 2^{x}$ .

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $2^{x} = 1$ um.

$2^{x} = 1$

Schritt 6.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x}) = \ln (1)$

Schritt 6.3

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (2) = \ln (1)$

Schritt 6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x \ln (2) = 0$

Schritt 6.5

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = 0$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = 0$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{0}{\ln (2)}$

Schritt 6.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (2)}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1

Dividiere $0$ durch $\ln (2)$ .

$x = 0$