Algebra Beispiele

$\frac{x^{5} + 9 x^{4} - 10 x^{3}}{9 x {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 36 x - 240}{x^{2} - 100}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5} + 9 x^{4} - 10 x^{3}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{x^{3} x^{2} + 9 x^{4} - 10 x^{3}}{9 x {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 36 x - 240}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $9 x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{3} x^{2} + x^{3} (9 x) - 10 x^{3}}{9 x {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 36 x - 240}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 10 x^{3}$ heraus.

$\frac{x^{3} x^{2} + x^{3} (9 x) + x^{3} \cdot - 10}{9 x {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 36 x - 240}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x^{2} + x^{3} (9 x)$ heraus.

$\frac{x^{3} (x^{2} + 9 x) + x^{3} \cdot - 10}{9 x {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 36 x - 240}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} (x^{2} + 9 x) + x^{3} \cdot - 10$ heraus.

$\frac{x^{3} (x^{2} + 9 x - 10)}{9 x {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 36 x - 240}{x^{2} - 100}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} + 9 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $9$ ist.

$- 1, 10$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x^{3} ((x - 1) (x + 10))}{9 x {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 36 x - 240}{x^{2} - 100}$

$\frac{x^{3} (x - 1) (x + 10)}{9 x {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} - 36 x - 240}{x^{2} - 100}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} - 36 x - 240$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{3} (x - 1) (x + 10)}{9 x {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 (x^{2}) - 36 x - 240}{x^{2} - 100}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $6$ aus $- 36 x$ heraus.

$\frac{x^{3} (x - 1) (x + 10)}{9 x {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 (x^{2}) + 6 (- 6 x) - 240}{x^{2} - 100}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $6$ aus $- 240$ heraus.

$\frac{x^{3} (x - 1) (x + 10)}{9 x {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 x^{2} + 6 (- 6 x) + 6 \cdot - 40}{x^{2} - 100}$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $6$ aus $6 x^{2} + 6 (- 6 x)$ heraus.

$\frac{x^{3} (x - 1) (x + 10)}{9 x {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 (x^{2} - 6 x) + 6 \cdot - 40}{x^{2} - 100}$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (x^{2} - 6 x) + 6 \cdot - 40$ heraus.

$\frac{x^{3} (x - 1) (x + 10)}{9 x {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 (x^{2} - 6 x - 40)}{x^{2} - 100}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2} - 6 x - 40$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 40$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 10, 4$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{x^{3} (x - 1) (x + 10)}{9 x {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 ((x - 10) (x + 4))}{x^{2} - 100}$

$\frac{x^{3} (x - 1) (x + 10)}{9 x {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 (x - 10) (x + 4)}{x^{2} - 100}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$\frac{x^{3} (x - 1) (x + 10)}{9 x {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 (x - 10) (x + 4)}{x^{2} - 10^{2}}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 10$ .

$\frac{x^{3} (x - 1) (x + 10)}{9 x {(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 (x - 10) (x + 4)}{(x + 10) (x - 10)}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kombinieren.

$\frac{x^{3} (x - 1) (x + 10) (6 (x - 10) (x + 4))}{9 x {(x - 1)}^{2} ((x + 10) (x - 10))}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} (x - 1) (x + 10) (6 (x - 10) (x + 4))$ heraus.

$\frac{x (((x^{2} (x - 1)) (x + 10)) (6 (x - 10) (x + 4)))}{9 x {(x - 1)}^{2} ((x + 10) (x - 10))}$

Schritt 4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x {(x - 1)}^{2} ((x + 10) (x - 10))$ heraus.

$\frac{x (((x^{2} (x - 1)) (x + 10)) (6 (x - 10) (x + 4)))}{x (9 {(x - 1)}^{2} ((x + 10) (x - 10)))}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (((x^{2} (x - 1)) (x + 10)) (6 (x - 10) (x + 4)))}{x (9 {(x - 1)}^{2} ((x + 10) (x - 10)))}$

Schritt 4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((x^{2} (x - 1)) (x + 10)) (6 (x - 10) (x + 4))}{9 {(x - 1)}^{2} ((x + 10) (x - 10))}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 1$ und ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $((x^{2} (x - 1)) (x + 10)) (6 (x - 10) (x + 4))$ heraus.

$\frac{(x - 1) (((x^{2}) (x + 10)) (6 (x - 10) (x + 4)))}{9 {(x - 1)}^{2} ((x + 10) (x - 10))}$

Schritt 4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $9 {(x - 1)}^{2} ((x + 10) (x - 10))$ heraus.

$\frac{(x - 1) (((x^{2}) (x + 10)) (6 (x - 10) (x + 4)))}{(x - 1) (9 (x - 1) ((x + 10) (x - 10)))}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 1) (((x^{2}) (x + 10)) (6 (x - 10) (x + 4)))}{(x - 1) (9 (x - 1) ((x + 10) (x - 10)))}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{((x^{2}) (x + 10)) (6 (x - 10) (x + 4))}{9 (x - 1) ((x + 10) (x - 10))}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 10$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (x + 10) (6 (x - 10) (x + 4))}{9 (x - 1) ((x + 10) (x - 10))}$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2}) (6 (x - 10) (x + 4))}{9 (x - 1) (x - 10)}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $9$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $3$ aus $(x^{2}) (6 (x - 10) (x + 4))$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} (2 (x - 10) (x + 4)))}{9 (x - 1) (x - 10)}$

Schritt 4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9 (x - 1) (x - 10)$ heraus.

$\frac{3 (x^{2} (2 (x - 10) (x + 4)))}{3 (3 (x - 1) (x - 10))}$

Schritt 4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x^{2} (2 (x - 10) (x + 4)))}{3 (3 (x - 1) (x - 10))}$

Schritt 4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} (2 (x - 10) (x + 4))}{3 (x - 1) (x - 10)}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 10$ .

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Schritt 4.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (2 (x - 10) (x + 4))}{3 (x - 1) (x - 10)}$

Schritt 4.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} (2 (x + 4))}{3 (x - 1)}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Forme um.

$\frac{x^{3} (x - 1) (x + 10) (6 (x - 10) (x + 4))}{3 (x - 1)}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{2} (x - 1) (x + 10) (6 (x - 10) (x + 4))}{3 (x - 1)}$

Schritt 5.3

Forme um.

$\frac{x^{2} (x - 1) (x + 10) (6 (x - 10) (x + 4))}{3 (x - 1)}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $(x^{2} (x - 1)) (x + 10)$ mit $6 (x - 10) (x + 4)$ .

$\frac{((x^{2} (x - 1)) (x + 10)) (6 (x - 10) (x + 4))}{3 (x - 1)}$

Schritt 5.5

Forme um.

$\frac{x^{2} (x + 10) (6 (x - 10) (x + 4))}{3 (x - 1)}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $(x^{2}) (x + 10)$ mit $6 (x - 10) (x + 4)$ .

$\frac{((x^{2}) (x + 10)) (6 (x - 10) (x + 4))}{3 (x - 1)}$

Schritt 5.7

Forme um.

$\frac{x^{2} (6 (x - 10) (x + 4))}{3 (x - 1)}$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $6 (x - 10) (x + 4)$ .

$\frac{(x^{2}) (6 (x - 10) (x + 4))}{3 (x - 1)}$

Schritt 5.9

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{x^{2} (3 (2) (x - 10) (x + 4))}{3 (x - 1)}$

Schritt 5.10

Forme um.

$\frac{x^{2} (\frac{6}{3} (x - 10) (x + 4))}{3 (x - 1)}$

Schritt 5.11

Dividiere $6$ durch $3$ .

$\frac{x^{2} (2 (x - 10) (x + 4))}{3 (x - 1)}$

Schritt 5.12

Forme um.

$\frac{x^{2} (\frac{6}{3} (x + 4))}{3 (x - 1)}$

Schritt 5.13

Dividiere $6$ durch $3$ .

$\frac{x^{2} (2 (x + 4))}{3 (x - 1)}$

Schritt 5.14

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{x^{2} \cdot 2 (x + 4)}{3 (x - 1)}$

Schritt 6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} (x + 4)}{3 (x - 1)}$