Algebra Beispiele

$\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} = 5$

Schritt 1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} - 5 = 0$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$p, p + 1, 1, 1$

Schritt 2.2

Da $p, p + 1, 1, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, gibt es vier Schritte, um das kgV zu ermitteln. Bestimme das kgV für den numerischen, variablen und zusammengesetzten Teil. Multipliziere sie dann miteinander.

Schritte, um das kgV für $p, p + 1, 1, 1$ zu finden, sind:

1. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1, 1$ .

2. Finde das kgV für den variablen Teil $p^{1}$ .

Finde das kgV für den zusammengesetzten variablen Teil $p + 1$ .

4. Multipliziere jedes kgV miteinander.

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.5

Das kgV von $1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.6

Der Teiler von $p^{1}$ ist $p$ selbst.

$p^{1} = p$

$p$ occurs $1$ time.

Schritt 2.7

Das kgV von $p^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$p$

Schritt 2.8

Der Teiler von $p + 1$ ist $p + 1$ selbst.

$(p + 1) = p + 1$

$(p + 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.9

Das kgV von $p + 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$p + 1$

Schritt 2.10

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$p (p + 1)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} - 5 = 0$ mit $p (p + 1)$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{p} + \frac{3}{p + 1} - 5 = 0$ mit $p (p + 1)$ .

$\frac{2}{p} (p (p + 1)) + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{p} (p (p + 1)) + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Schritt 3.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (p + 1) + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Schritt 3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 p + 2 \cdot 1 + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 p + 2 + \frac{3}{p + 1} (p (p + 1)) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p + 1$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $p + 1$ aus $p (p + 1)$ heraus.

$2 p + 2 + \frac{3}{p + 1} ((p + 1) p) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Schritt 3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 p + 2 + \frac{3}{p + 1} ((p + 1) p) - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Schritt 3.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p (p + 1)) = 0 (p (p + 1))$

Schritt 3.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p \cdot p + p \cdot 1) = 0 (p (p + 1))$

Schritt 3.2.1.6

Mutltipliziere $p$ mit $p$ .

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p^{2} + p \cdot 1) = 0 (p (p + 1))$

Schritt 3.2.1.7

Mutltipliziere $p$ mit $1$ .

$2 p + 2 + 3 p - 5 (p^{2} + p) = 0 (p (p + 1))$

Schritt 3.2.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$2 p + 2 + 3 p - 5 p^{2} - 5 p = 0 (p (p + 1))$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $2 p$ und $3 p$ .

$5 p + 2 - 5 p^{2} - 5 p = 0 (p (p + 1))$

Schritt 3.2.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 p + 2 - 5 p^{2} - 5 p$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Subtrahiere $5 p$ von $5 p$ .

$2 - 5 p^{2} + 0 = 0 (p (p + 1))$

Schritt 3.2.2.2.2

Addiere $2 - 5 p^{2}$ und $0$ .

$2 - 5 p^{2} = 0 (p (p + 1))$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 - 5 p^{2} = 0 (p \cdot p + p \cdot 1)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $p$ mit $p$ .

$2 - 5 p^{2} = 0 (p^{2} + p \cdot 1)$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $p$ mit $1$ .

$2 - 5 p^{2} = 0 (p^{2} + p)$

Schritt 3.3.2.3

Mutltipliziere $0$ mit $p^{2} + p$ .

$2 - 5 p^{2} = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 p^{2} = - 2$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 p^{2} = - 2$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 p^{2} = - 2$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 p^{2}}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 p^{2}}{- 5} = \frac{- 2}{- 5}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $p^{2}$ durch $1$ .

$p^{2} = \frac{- 2}{- 5}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$p^{2} = \frac{2}{5}$

Schritt 4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$p = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}$

Schritt 4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{2}{5}}$ .

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Schritt 4.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{2}{5}}$ als $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ um.

$p = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 4.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 4.4.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 4.4.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 4.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 4.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 4.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 4.4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$p = \pm \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 4.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$p = \pm \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Schritt 4.4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$p = \pm \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$p = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$p = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$p = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$p = \frac{\sqrt{10}}{5}, - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Dezimalform:

$p = 0.63245553 \dots, - 0.63245553 \dots$