Algebra Beispiele

$\frac{\sqrt{1 + x} - \frac{x}{2 \sqrt{1 + x}}}{1 + x}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $2 \sqrt{1 + x}$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{1 + x} - \frac{x}{2 \sqrt{1 + x}}}{1 + x}$ mit $\frac{2 \sqrt{1 + x}}{2 \sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{2 \sqrt{1 + x}}{2 \sqrt{1 + x}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x} - \frac{x}{2 \sqrt{1 + x}}}{1 + x}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{2 \sqrt{1 + x} (\sqrt{1 + x} - \frac{x}{2 \sqrt{1 + x}})}{2 \sqrt{1 + x} (1 + x)}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} + 2 \sqrt{1 + x} (- \frac{x}{2 \sqrt{1 + x}})}{2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 \sqrt{1 + x}$ .

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Schritt 3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{2 \sqrt{1 + x}}$ in den Zähler.

$\frac{2 \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} + 2 \sqrt{1 + x} \frac{- x}{2 \sqrt{1 + x}}}{2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} + 2 \sqrt{1 + x} \frac{- x}{2 \sqrt{1 + x}}}{2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - x}{2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Multipliziere $2 \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}$ .

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Schritt 4.1.1

Potenziere $\sqrt{1 + x}$ mit $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{1 + x}}^{1} \sqrt{1 + x}) - x}{2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 4.1.2

Potenziere $\sqrt{1 + x}$ mit $1$ .

$\frac{2 ({\sqrt{1 + x}}^{1} {\sqrt{1 + x}}^{1}) - x}{2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1} - x}{2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 {\sqrt{1 + x}}^{2} - x}{2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ als $1 + x$ um.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x}$ als ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x}{2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x}{2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - x}{2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - x}{2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 {(1 + x)}^{1} - x}{2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache.

$\frac{2 (1 + x) - x}{2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 x - x}{2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 + 2 x - x}{2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 4.5

Subtrahiere $x$ von $2 x$ .

$\frac{2 + x}{2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 5

Faktorisiere $2 \sqrt{1 + x}$ aus $2 \sqrt{1 + x} \cdot 1 + 2 \sqrt{1 + x} x$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2 \sqrt{1 + x}$ aus $2 \sqrt{1 + x} \cdot 1$ heraus.

$\frac{2 + x}{2 \sqrt{1 + x} (1) + 2 \sqrt{1 + x} x}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 \sqrt{1 + x}$ aus $2 \sqrt{1 + x} x$ heraus.

$\frac{2 + x}{2 \sqrt{1 + x} (1) + 2 \sqrt{1 + x} (x)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2 \sqrt{1 + x}$ aus $2 \sqrt{1 + x} (1) + 2 \sqrt{1 + x} (x)$ heraus.

$\frac{2 + x}{2 \sqrt{1 + x} (1 + x)}$

Schritt 6

Mutltipliziere $\frac{2 + x}{2 \sqrt{1 + x} (1 + x)}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{2 + x}{2 \sqrt{1 + x} (1 + x)} \cdot \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$

Schritt 7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{2 + x}{2 \sqrt{1 + x} (1 + x)}$ mit $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$\frac{(2 + x) \sqrt{1 + x}}{2 \sqrt{1 + x} (1 + x) \sqrt{1 + x}}$

Schritt 7.2

Bewege $\sqrt{1 + x}$ .

$\frac{(2 + x) \sqrt{1 + x}}{2 (1 + x) (\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x})}$

Schritt 7.3

Potenziere $\sqrt{1 + x}$ mit $1$ .

$\frac{(2 + x) \sqrt{1 + x}}{2 (1 + x) ({\sqrt{1 + x}}^{1} \sqrt{1 + x})}$

Schritt 7.4

Potenziere $\sqrt{1 + x}$ mit $1$ .

$\frac{(2 + x) \sqrt{1 + x}}{2 (1 + x) ({\sqrt{1 + x}}^{1} {\sqrt{1 + x}}^{1})}$

Schritt 7.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(2 + x) \sqrt{1 + x}}{2 (1 + x) {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1}}$

Schritt 7.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(2 + x) \sqrt{1 + x}}{2 (1 + x) {\sqrt{1 + x}}^{2}}$

Schritt 7.7

Schreibe ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ als $1 + x$ um.

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Schritt 7.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 + x}$ als ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{(2 + x) \sqrt{1 + x}}{2 (1 + x) {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(2 + x) \sqrt{1 + x}}{2 (1 + x) {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 7.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{(2 + x) \sqrt{1 + x}}{2 (1 + x) {(1 + x)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 + x) \sqrt{1 + x}}{2 (1 + x) {(1 + x)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 7.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 + x) \sqrt{1 + x}}{2 (1 + x) {(1 + x)}^{1}}$

Schritt 7.7.5

Vereinfache.

$\frac{(2 + x) \sqrt{1 + x}}{2 (1 + x) (1 + x)}$

Schritt 8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1

Potenziere $1 + x$ mit $1$ .

$\frac{(2 + x) \sqrt{1 + x}}{2 ({(1 + x)}^{1} (1 + x))}$

Schritt 8.2

Potenziere $1 + x$ mit $1$ .

$\frac{(2 + x) \sqrt{1 + x}}{2 ({(1 + x)}^{1} {(1 + x)}^{1})}$

Schritt 8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(2 + x) \sqrt{1 + x}}{2 {(1 + x)}^{1 + 1}}$

Schritt 8.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(2 + x) \sqrt{1 + x}}{2 {(1 + x)}^{2}}$

Schritt 9

Stelle die Faktoren in $\frac{(2 + x) \sqrt{1 + x}}{2 {(1 + x)}^{2}}$ um.

$\frac{\sqrt{1 + x} (2 + x)}{2 {(1 + x)}^{2}}$