Algebra Beispiele

$\sqrt[3]{8 x^{3} - 1} = 2 x - 1$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{8 x^{3} - 1}}^{3} = {(2 x - 1)}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{8 x^{3} - 1}$ als ${(8 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(8 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(2 x - 1)}^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(8 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x - 1)}^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(8 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(2 x - 1)}^{3}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(8 x^{3} - 1)}^{1} = {(2 x - 1)}^{3}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$8 x^{3} - 1 = {(2 x - 1)}^{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(2 x - 1)}^{3}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$8 x^{3} - 1 = {(2 x)}^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$8 x^{3} - 1 = 2^{3} x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 x^{3} - 1 = 8 x^{3} + 3 {(2 x)}^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$8 x^{3} - 1 = 8 x^{3} + 3 (2^{2} x^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 x^{3} - 1 = 8 x^{3} + 3 (4 x^{2}) \cdot - 1 + 3 (2 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$8 x^{3} - 1 = 8 x^{3} + 12 x^{2} \cdot - 1 + 3 (2 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$8 x^{3} - 1 = 8 x^{3} - 12 x^{2} + 3 (2 x) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$8 x^{3} - 1 = 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$8 x^{3} - 1 = 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2.9

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$8 x^{3} - 1 = 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x + {(- 1)}^{3}$

Schritt 2.3.1.2.10

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$8 x^{3} - 1 = 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1 = 8 x^{3} - 1$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $8 x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1 - 8 x^{3} = - 1$

Schritt 3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1 - 8 x^{3}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $8 x^{3}$ von $8 x^{3}$ .

$- 12 x^{2} + 6 x - 1 + 0 = - 1$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $- 12 x^{2} + 6 x - 1$ und $0$ .

$- 12 x^{2} + 6 x - 1 = - 1$

Schritt 3.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 12 x^{2} + 6 x - 1 + 1 = 0$

Schritt 3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 12 x^{2} + 6 x - 1 + 1$ .

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Schritt 3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 0 = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $- 12 x^{2} + 6 x$ und $0$ .

$- 12 x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- 6 x$ aus $- 12 x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $- 6 x$ aus $- 12 x^{2}$ heraus.

$- 6 x (2 x) + 6 x = 0$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $- 6 x$ aus $6 x$ heraus.

$- 6 x (2 x) - 6 x \cdot - 1 = 0$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $- 6 x$ aus $- 6 x (2 x) - 6 x (- 1)$ heraus.

$- 6 x (2 x - 1) = 0$

Schritt 3.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Schritt 3.7

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.8

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.1

Setze $2 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Schritt 3.8.2

Löse $2 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.8.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 3.8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.8.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.8.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.8.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 3.9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 6 x (2 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 0, \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$x = 0, 0.5$