Algebra Beispiele

$f (x) = \sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}$ als Gleichung.

$y = \sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[5]{\frac{y^{3}}{9}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[5]{\frac{y^{3}}{9}} = x$ um.

$\sqrt[5]{\frac{y^{3}}{9}} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $5$ . Potenz.

${\sqrt[5]{\frac{y^{3}}{9}}}^{5} = x^{5}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{\frac{y^{3}}{9}}$ als ${(\frac{y^{3}}{9})}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{y^{3}}{9})}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(\frac{y^{3}}{9})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{y^{3}}{9})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{y^{3}}{9})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{y^{3}}{9})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{y^{3}}{9})}^{1} = x^{5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$\frac{y^{3}}{9} = x^{5}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $9$ .

$9 \frac{y^{3}}{9} = 9 x^{5}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{y^{3}}{9} = 9 x^{5}$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = 9 x^{5}$

Schritt 3.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{9 x^{5}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache $\sqrt[3]{9 x^{5}}$ .

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Schritt 3.4.4.1

Schreibe $9 x^{5}$ als $x^{3} \cdot (9 x^{2})$ um.

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Schritt 3.4.4.1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus.

$y = \sqrt[3]{9 (x^{3} x^{2})}$

Schritt 3.4.4.1.2

Stelle $9$ und $x^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{x^{3} \cdot 9 x^{2}}$

Schritt 3.4.4.1.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \sqrt[3]{x^{3} \cdot (9 x^{2})}$

Schritt 3.4.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = x \sqrt[3]{9 x^{2}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x \sqrt[3]{9 x^{2}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x \sqrt[3]{9 x^{2}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.3

Schreibe $\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}$ als $\frac{\sqrt[5]{x^{3}}}{\sqrt[5]{9}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3}}}{\sqrt[5]{9}} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{x^{3}}}{\sqrt[5]{9}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{9}}^{4}}{{\sqrt[5]{9}}^{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3}}}{\sqrt[5]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{9}}^{4}}{{\sqrt[5]{9}}^{4}} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{x^{3}}}{\sqrt[5]{9}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{9}}^{4}}{{\sqrt[5]{9}}^{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{\sqrt[5]{9} {\sqrt[5]{9}}^{4}} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.5.2

Potenziere $\sqrt[5]{9}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{\sqrt[5]{9} {\sqrt[5]{9}}^{4}} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{{\sqrt[5]{9}}^{1 + 4}} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.5.4

Addiere $1$ und $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{{\sqrt[5]{9}}^{5}} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.5.5

Schreibe ${\sqrt[5]{9}}^{5}$ als $9$ um.

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Schritt 5.2.5.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{9}$ als $9^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{{(9^{\frac{1}{5}})}^{5}} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.5.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{9^{\frac{1}{5} \cdot 5}} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.5.5.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{9^{\frac{5}{5}}} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.5.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.5.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{9^{\frac{5}{5}}} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.5.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{9} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.5.5.5

Berechne den Exponenten.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{9} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.1

Schreibe ${\sqrt[5]{9}}^{4}$ als $\sqrt[5]{9^{4}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3}} \sqrt[5]{9^{4}}}{9} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.6.2

Potenziere $9$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3}} \sqrt[5]{6561}}{9} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.6.3

Schreibe $6561$ als $3^{5} \cdot 27$ um.

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Schritt 5.2.6.3.1

Faktorisiere $243$ aus $6561$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3}} \sqrt[5]{243 (27)}}{9} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.6.3.2

Schreibe $243$ als $3^{5}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3}} \sqrt[5]{3^{5} \cdot 27}}{9} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.6.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3}} \cdot (3 \sqrt[5]{27})}{9} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.6.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{3 \sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{9} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 5.2.7.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{3 (\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27})}{9} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.7.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{3 \sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3 \cdot 3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{3 \sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3 \cdot 3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.8

Schreibe $\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}$ als $\frac{\sqrt[5]{x^{3}}}{\sqrt[5]{9}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3}}}{\sqrt[5]{9}})}^{2}}$

Schritt 5.2.9

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{x^{3}}}{\sqrt[5]{9}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{9}}^{4}}{{\sqrt[5]{9}}^{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3}}}{\sqrt[5]{9}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{9}}^{4}}{{\sqrt[5]{9}}^{4}})}^{2}}$

Schritt 5.2.10

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.10.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{x^{3}}}{\sqrt[5]{9}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{9}}^{4}}{{\sqrt[5]{9}}^{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{\sqrt[5]{9} {\sqrt[5]{9}}^{4}})}^{2}}$

Schritt 5.2.10.2

Potenziere $\sqrt[5]{9}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{\sqrt[5]{9} {\sqrt[5]{9}}^{4}})}^{2}}$

Schritt 5.2.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{{\sqrt[5]{9}}^{1 + 4}})}^{2}}$

Schritt 5.2.10.4

Addiere $1$ und $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{{\sqrt[5]{9}}^{5}})}^{2}}$

Schritt 5.2.10.5

Schreibe ${\sqrt[5]{9}}^{5}$ als $9$ um.

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Schritt 5.2.10.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{9}$ als $9^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{{(9^{\frac{1}{5}})}^{5}})}^{2}}$

Schritt 5.2.10.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{9^{\frac{1}{5} \cdot 5}})}^{2}}$

Schritt 5.2.10.5.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{9^{\frac{5}{5}}})}^{2}}$

Schritt 5.2.10.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.10.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{9^{\frac{5}{5}}})}^{2}}$

Schritt 5.2.10.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{9})}^{2}}$

Schritt 5.2.10.5.5

Berechne den Exponenten.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3}} {\sqrt[5]{9}}^{4}}{9})}^{2}}$

Schritt 5.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.11.1

Schreibe ${\sqrt[5]{9}}^{4}$ als $\sqrt[5]{9^{4}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3}} \sqrt[5]{9^{4}}}{9})}^{2}}$

Schritt 5.2.11.2

Potenziere $9$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3}} \sqrt[5]{6561}}{9})}^{2}}$

Schritt 5.2.11.3

Schreibe $6561$ als $3^{5} \cdot 27$ um.

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Schritt 5.2.11.3.1

Faktorisiere $243$ aus $6561$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3}} \sqrt[5]{243 (27)}}{9})}^{2}}$

Schritt 5.2.11.3.2

Schreibe $243$ als $3^{5}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3}} \sqrt[5]{3^{5} \cdot 27}}{9})}^{2}}$

Schritt 5.2.11.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3}} \cdot (3 \sqrt[5]{27})}{9})}^{2}}$

Schritt 5.2.11.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{3 \sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{9})}^{2}}$

Schritt 5.2.12

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.12.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 5.2.12.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{3 (\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27})}{9})}^{2}}$

Schritt 5.2.12.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.12.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{3 \sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3 \cdot 3})}^{2}}$

Schritt 5.2.12.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{3 \sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3 \cdot 3})}^{2}}$

Schritt 5.2.12.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 {(\frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3})}^{2}}$

Schritt 5.2.12.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3}$ an.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}^{2}}{3^{2}})}$

Schritt 5.2.13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.13.1

Schreibe ${\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}^{2}$ als $\sqrt[5]{{(x^{3} \cdot 27)}^{2}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{\sqrt[5]{{(x^{3} \cdot 27)}^{2}}}{3^{2}})}$

Schritt 5.2.13.2

Wende die Produktregel auf $x^{3} \cdot 27$ an.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{\sqrt[5]{{(x^{3})}^{2} \cdot 27^{2}}}{3^{2}})}$

Schritt 5.2.13.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.13.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{\sqrt[5]{x^{3 \cdot 2} \cdot 27^{2}}}{3^{2}})}$

Schritt 5.2.13.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{\sqrt[5]{x^{6} \cdot 27^{2}}}{3^{2}})}$

Schritt 5.2.13.4

Potenziere $27$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{\sqrt[5]{x^{6} \cdot 729}}{3^{2}})}$

Schritt 5.2.13.5

Schreibe $x^{6} \cdot 729$ als ${(x \cdot 3)}^{5} (x \cdot 3)$ um.

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Schritt 5.2.13.5.1

Faktorisiere $x^{5}$ aus.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{\sqrt[5]{x^{5} x \cdot 729}}{3^{2}})}$

Schritt 5.2.13.5.2

Faktorisiere $243$ aus $729$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{\sqrt[5]{x^{5} x \cdot (243 (3))}}{3^{2}})}$

Schritt 5.2.13.5.3

Schreibe $243$ als $3^{5}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{\sqrt[5]{x^{5} x \cdot (3^{5} \cdot 3)}}{3^{2}})}$

Schritt 5.2.13.5.4

Bewege $x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{\sqrt[5]{x^{5} \cdot (3^{5} x) \cdot 3}}{3^{2}})}$

Schritt 5.2.13.5.5

Schreibe $x^{5} \cdot 3^{5}$ als ${(x \cdot 3)}^{5}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{\sqrt[5]{{(x \cdot 3)}^{5} x \cdot 3}}{3^{2}})}$

Schritt 5.2.13.5.6

Füge Klammern hinzu.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{\sqrt[5]{{(x \cdot 3)}^{5} (x \cdot 3)}}{3^{2}})}$

Schritt 5.2.13.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{x \cdot (3 \sqrt[5]{x \cdot 3})}{3^{2}})}$

Schritt 5.2.13.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{3 x \sqrt[5]{x \cdot 3}}{3^{2}})}$

Schritt 5.2.14

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.14.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{3 x \sqrt[5]{x \cdot 3}}{9})}$

Schritt 5.2.14.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $9$ .

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Schritt 5.2.14.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x \sqrt[5]{x \cdot 3}$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{3 (x \sqrt[5]{x \cdot 3})}{9})}$

Schritt 5.2.14.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.14.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{3 (x \sqrt[5]{x \cdot 3})}{3 \cdot 3})}$

Schritt 5.2.14.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{3 (x \sqrt[5]{x \cdot 3})}{3 \cdot 3})}$

Schritt 5.2.14.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{x \sqrt[5]{x \cdot 3}}{3})}$

Schritt 5.2.14.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{9 (\frac{x \sqrt[5]{3 \cdot x}}{3})}$

Schritt 5.2.14.4

Kombiniere $9$ und $\frac{x \sqrt[5]{3 x}}{3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{9 (x \sqrt[5]{3 x})}{3}}$

Schritt 5.2.15

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.15.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{9 x \sqrt[5]{3 x}}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.15.1.1

Faktorisiere $3$ aus $9 x \sqrt[5]{3 x}$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{3 (3 x \sqrt[5]{3 x})}{3}}$

Schritt 5.2.15.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{3 (3 x \sqrt[5]{3 x})}{3 (1)}}$

Schritt 5.2.15.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{3 (3 x \sqrt[5]{3 x})}{3 \cdot 1}}$

Schritt 5.2.15.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{3 x \sqrt[5]{3 x}}{1}}$

Schritt 5.2.15.2

Dividiere $3 x \sqrt[5]{3 x}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \cdot \sqrt[3]{3 x \sqrt[5]{3 x}}$

Schritt 5.2.16

Multipliziere $\frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3} \sqrt[3]{3 x \sqrt[5]{3 x}}$ .

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Schritt 5.2.16.1

Kombiniere $\frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}}{3}$ und $\sqrt[3]{3 x \sqrt[5]{3 x}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27} \sqrt[3]{3 x \sqrt[5]{3 x}}}{3}$

Schritt 5.2.16.2

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $15$ .

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Schritt 5.2.16.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x^{3} \cdot 27}$ als ${(x^{3} \cdot 27)}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{{(x^{3} \cdot 27)}^{\frac{1}{5}} \sqrt[3]{3 x \sqrt[5]{3 x}}}{3}$

Schritt 5.2.16.2.2

Schreibe ${(x^{3} \cdot 27)}^{\frac{1}{5}}$ als ${(x^{3} \cdot 27)}^{\frac{3}{15}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{{(x^{3} \cdot 27)}^{\frac{3}{15}} \sqrt[3]{3 x \sqrt[5]{3 x}}}{3}$

Schritt 5.2.16.2.3

Schreibe ${(x^{3} \cdot 27)}^{\frac{3}{15}}$ als $\sqrt[15]{{(x^{3} \cdot 27)}^{3}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{{(x^{3} \cdot 27)}^{3}} \sqrt[3]{3 x \sqrt[5]{3 x}}}{3}$

Schritt 5.2.16.2.4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3 x \sqrt[5]{3 x}}$ als ${(3 x \sqrt[5]{3 x})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{{(x^{3} \cdot 27)}^{3}} {(3 x \sqrt[5]{3 x})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 5.2.16.2.5

Schreibe ${(3 x \sqrt[5]{3 x})}^{\frac{1}{3}}$ als ${(3 x \sqrt[5]{3 x})}^{\frac{5}{15}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{{(x^{3} \cdot 27)}^{3}} {(3 x \sqrt[5]{3 x})}^{\frac{5}{15}}}{3}$

Schritt 5.2.16.2.6

Schreibe ${(3 x \sqrt[5]{3 x})}^{\frac{5}{15}}$ als $\sqrt[15]{{(3 x \sqrt[5]{3 x})}^{5}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{{(x^{3} \cdot 27)}^{3}} \sqrt[15]{{(3 x \sqrt[5]{3 x})}^{5}}}{3}$

Schritt 5.2.16.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{{(x^{3} \cdot 27)}^{3} {(3 x \sqrt[5]{3 x})}^{5}}}{3}$

Schritt 5.2.16.4

Wende die Produktregel auf $x^{3} \cdot 27$ an.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{{(x^{3})}^{3} \cdot (27^{3} {(3 x \sqrt[5]{3 x})}^{5})}}{3}$

Schritt 5.2.16.5

Wende die Produktregel auf $3 x \sqrt[5]{3 x}$ an.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{{(x^{3})}^{3} \cdot (27^{3} {(3 x)}^{5} {\sqrt[5]{3 x}}^{5})}}{3}$

Schritt 5.2.16.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.16.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{x^{3 \cdot 3} \cdot (27^{3} {(3 x)}^{5} {\sqrt[5]{3 x}}^{5})}}{3}$

Schritt 5.2.16.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{x^{9} \cdot (27^{3} {(3 x)}^{5} {\sqrt[5]{3 x}}^{5})}}{3}$

Schritt 5.2.16.7

Potenziere $27$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{x^{9} \cdot (19683 {(3 x)}^{5} {\sqrt[5]{3 x}}^{5})}}{3}$

Schritt 5.2.16.8

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{x^{9} \cdot (19683 (3^{5} x^{5}) {\sqrt[5]{3 x}}^{5})}}{3}$

Schritt 5.2.16.9

Potenziere $3$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{x^{9} \cdot (19683 (243 x^{5}) {\sqrt[5]{3 x}}^{5})}}{3}$

Schritt 5.2.16.10

Schreibe ${\sqrt[5]{3 x}}^{5}$ als $3 x$ um.

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Schritt 5.2.16.10.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{3 x}$ als ${(3 x)}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{x^{9} \cdot (19683 (243 x^{5}) {({(3 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5})}}{3}$

Schritt 5.2.16.10.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{x^{9} \cdot (19683 (243 x^{5}) {(3 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5})}}{3}$

Schritt 5.2.16.10.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{x^{9} \cdot (19683 (243 x^{5}) {(3 x)}^{\frac{5}{5}})}}{3}$

Schritt 5.2.16.10.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.16.10.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{x^{9} \cdot (19683 (243 x^{5}) {(3 x)}^{\frac{5}{5}})}}{3}$

Schritt 5.2.16.10.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{x^{9} \cdot (19683 (243 x^{5}) (3 x))}}{3}$

Schritt 5.2.16.10.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{x^{9} \cdot (19683 (243 x^{5}) (3 x))}}{3}$

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{x^{9} \cdot 19683 \cdot (243 x^{5}) \cdot (3 x)}}{3}$

Schritt 5.2.16.11

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.2.16.11.1

Mutltipliziere $243$ mit $19683$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{x^{9} \cdot (4782969 x^{5}) \cdot (3 x)}}{3}$

Schritt 5.2.16.11.2

Multipliziere $x^{9}$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.16.11.2.1

Bewege $x^{5}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{x^{5} x^{9} \cdot 4782969 \cdot (3 x)}}{3}$

Schritt 5.2.16.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{x^{5 + 9} \cdot 4782969 \cdot (3 x)}}{3}$

Schritt 5.2.16.11.2.3

Addiere $5$ und $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{x^{14} \cdot 4782969 \cdot (3 x)}}{3}$

Schritt 5.2.16.11.3

Mutltipliziere $3$ mit $4782969$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{x^{14} \cdot (14348907 x)}}{3}$

Schritt 5.2.16.11.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{14348907 (x^{14} x)}}{3}$

Schritt 5.2.16.11.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{14348907 x^{14 + 1}}}{3}$

Schritt 5.2.16.11.6

Addiere $14$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{14348907 x^{15}}}{3}$

Schritt 5.2.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.17.1

Schreibe $14348907 x^{15}$ als ${(3 x)}^{15}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{\sqrt[15]{{(3 x)}^{15}}}{3}$

Schritt 5.2.17.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.18.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.18.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x \sqrt[3]{9 x^{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x \sqrt[3]{9 x^{2}}) = \sqrt[5]{\frac{{(x \sqrt[3]{9 x^{2}})}^{3}}{9}}$

Schritt 5.3.3

Wende die Produktregel auf $x \sqrt[3]{9 x^{2}}$ an.

$f (x \sqrt[3]{9 x^{2}}) = \sqrt[5]{\frac{x^{3} {\sqrt[3]{9 x^{2}}}^{3}}{9}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{9 x^{2}}}^{3}$ als $9 x^{2}$ um.

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Schritt 5.3.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{9 x^{2}}$ als ${(9 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (x \sqrt[3]{9 x^{2}}) = \sqrt[5]{\frac{x^{3} {({(9 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{9}}$

Schritt 5.3.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x \sqrt[3]{9 x^{2}}) = \sqrt[5]{\frac{x^{3} {(9 x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{9}}$

Schritt 5.3.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (x \sqrt[3]{9 x^{2}}) = \sqrt[5]{\frac{x^{3} {(9 x^{2})}^{\frac{3}{3}}}{9}}$

Schritt 5.3.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x \sqrt[3]{9 x^{2}}) = \sqrt[5]{\frac{x^{3} {(9 x^{2})}^{\frac{3}{3}}}{9}}$

Schritt 5.3.4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x \sqrt[3]{9 x^{2}}) = \sqrt[5]{\frac{x^{3} (9 x^{2})}{9}}$

Schritt 5.3.4.1.5

Vereinfache.

$f (x \sqrt[3]{9 x^{2}}) = \sqrt[5]{\frac{x^{3} (9 x^{2})}{9}}$

$f (x \sqrt[3]{9 x^{2}}) = \sqrt[5]{\frac{x^{3} \cdot (9 x^{2})}{9}}$

Schritt 5.3.4.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.3.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$f (x \sqrt[3]{9 x^{2}}) = \sqrt[5]{\frac{x^{2} x^{3} \cdot 9}{9}}$

Schritt 5.3.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x \sqrt[3]{9 x^{2}}) = \sqrt[5]{\frac{x^{2 + 3} \cdot 9}{9}}$

Schritt 5.3.4.2.3

Addiere $2$ und $3$ .

$f (x \sqrt[3]{9 x^{2}}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5} \cdot 9}{9}}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x \sqrt[3]{9 x^{2}}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5} \cdot 9}{9}}$

Schritt 5.3.5.2

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$f (x \sqrt[3]{9 x^{2}}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Schritt 5.3.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (x \sqrt[3]{9 x^{2}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x \sqrt[3]{9 x^{2}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[5]{\frac{x^{3}}{9}}$ .

$f^{- 1} (x) = x \sqrt[3]{9 x^{2}}$