Algebra Beispiele

$\frac{(p^{2} - 4) (p + 3)}{p^{3} - 27} \div \frac{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}{2 p^{2} + 6 p + 18}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{(p^{2} - 4) (p + 3)}{p^{3} - 27} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Schritt 2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(p^{2} - 2^{2}) (p + 3)}{p^{3} - 27} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = p$ und $b = 2$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{p^{3} - 27} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{p^{3} - 3^{3}} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = p$ und $b = 3$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + p \cdot 3 + 3^{2})} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $p$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 \cdot p + 3^{2})} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Schritt 3.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(p + 2) (p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p + 2$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $p + 2$ aus $(p + 2) (p - 2) (p + 3)$ heraus.

$\frac{(p + 2) ((p - 2) (p + 3))}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(p + 2) ((p - 2) (p + 3))}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{(p + 2) (p^{2} + p - 6)}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)} \cdot \frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{p^{2} + p - 6}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{(p - 2) (p + 3)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)}$ mit $\frac{2 p^{2} + 6 p + 18}{p^{2} + p - 6}$ .

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 p^{2} + 6 p + 18)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Schritt 5

Faktorisiere $2$ aus $2 p^{2} + 6 p + 18$ heraus.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 p^{2}$ heraus.

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2}) + 6 p + 18)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2$ aus $6 p$ heraus.

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2}) + 2 (3 p) + 18)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 p^{2} + 2 (3 p) + 2 \cdot 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $2$ aus $2 p^{2} + 2 (3 p)$ heraus.

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2} + 3 p) + 2 \cdot 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (p^{2} + 3 p) + 2 \cdot 9$ heraus.

$\frac{(p - 2) (p + 3) (2 (p^{2} + 3 p + 9))}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p^{2} + p - 6)}$

Schritt 6

Faktorisiere $p^{2} + p - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) ((p - 2) (p + 3))}$

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p - 2) (p + 3)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p - 2$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(p - 2) (p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p - 2) (p + 3)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p + 3)}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p + 3$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(p + 3) \cdot 2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9) (p + 3)}$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p^{2} + 3 p + 9$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (p^{2} + 3 p + 9)}{(p - 3) (p^{2} + 3 p + 9)}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{p - 3}$