Algebra Beispiele

$\frac{3}{x - 2} + 6 = \sqrt{x - 2} + 8$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3}{x - 2} + 6$

Schritt 2

Löse nach $\sqrt{x - 2}$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\frac{3}{x - 2} + 6$ .

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Schritt 2.1.1

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3}{x - 2} + \frac{6 (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 + 6 (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 + 6 (x - 2)$ heraus.

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Schritt 2.1.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (1) + 6 (x - 2)}{x - 2}$

Schritt 2.1.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $6 (x - 2)$ heraus.

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (1) + 3 (2 (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 2.1.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (1) + 3 (2 (x - 2))$ heraus.

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (1 + 2 (x - 2))}{x - 2}$

Schritt 2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (1 + 2 x + 2 \cdot - 2)}{x - 2}$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (1 + 2 x - 4)}{x - 2}$

Schritt 2.1.3.4

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\sqrt{x - 2} + 8 = \frac{3 (2 x - 3)}{x - 2}$

Schritt 2.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x - 2} = \frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8$

Schritt 3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x - 2}}^{2} = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Schritt 4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 2}$ als ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Schritt 4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 2)}^{1} = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache.

$x - 2 = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache ${(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8)}^{2}$ .

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Schritt 4.3.1.1

Um $- 8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$x - 2 = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} - 8 \cdot \frac{x - 2}{x - 2})}^{2}$

Schritt 4.3.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.3.1.2.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$x - 2 = {(\frac{3 (2 x - 3)}{x - 2} + \frac{- 8 (x - 2)}{x - 2})}^{2}$

Schritt 4.3.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x - 2 = {(\frac{3 (2 x - 3) - 8 (x - 2)}{x - 2})}^{2}$

Schritt 4.3.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 2 = {(\frac{3 (2 x) + 3 \cdot - 3 - 8 (x - 2)}{x - 2})}^{2}$

Schritt 4.3.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x - 2 = {(\frac{6 x + 3 \cdot - 3 - 8 (x - 2)}{x - 2})}^{2}$

Schritt 4.3.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$x - 2 = {(\frac{6 x - 9 - 8 (x - 2)}{x - 2})}^{2}$

Schritt 4.3.1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x - 2 = {(\frac{6 x - 9 - 8 x - 8 \cdot - 2}{x - 2})}^{2}$

Schritt 4.3.1.3.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 2$ .

$x - 2 = {(\frac{6 x - 9 - 8 x + 16}{x - 2})}^{2}$

Schritt 4.3.1.3.6

Subtrahiere $8 x$ von $6 x$ .

$x - 2 = {(\frac{- 2 x - 9 + 16}{x - 2})}^{2}$

Schritt 4.3.1.3.7

Addiere $- 9$ und $16$ .

$x - 2 = {(\frac{- 2 x + 7}{x - 2})}^{2}$

Schritt 4.3.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{- 2 x + 7}{x - 2}$ an.

$x - 2 = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + 2$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, {(x - 2)}^{2}, 1$

Schritt 5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

${(x - 2)}^{2}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $x = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + 2$ mit ${(x - 2)}^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $x = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + 2$ mit ${(x - 2)}^{2}$ .

$x {(x - 2)}^{2} = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} {(x - 2)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x {(x - 2)}^{2} = \frac{{(- 2 x + 7)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} {(x - 2)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x {(x - 2)}^{2} = {(- 2 x + 7)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache ${(- 2 x + 7)}^{2} + 2 {(x - 2)}^{2}$ .

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Schritt 5.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1.1

Schreibe ${(- 2 x + 7)}^{2}$ als $(- 2 x + 7) (- 2 x + 7)$ um.

$x {(x - 2)}^{2} = (- 2 x + 7) (- 2 x + 7) + 2 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 5.4.1.1.2

Multipliziere $(- 2 x + 7) (- 2 x + 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 x (- 2 x + 7) + 7 (- 2 x + 7) + 2 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 5.4.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x + 7) + 2 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 5.4.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 5.4.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 5.4.1.1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.1.1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 5.4.1.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 5.4.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 2 x \cdot 7 + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 5.4.1.1.3.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 14 x + 7 (- 2 x) + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 5.4.1.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 14 x - 14 x + 7 \cdot 7 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 5.4.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 14 x - 14 x + 49 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 5.4.1.1.3.2

Subtrahiere $14 x$ von $- 14 x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 {(x - 2)}^{2}$

Schritt 5.4.1.1.4

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 ((x - 2) (x - 2))$

Schritt 5.4.1.1.5

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x (x - 2) - 2 (x - 2))$

Schritt 5.4.1.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2))$

Schritt 5.4.1.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 5.4.1.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.1.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 5.4.1.1.6.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2)$

Schritt 5.4.1.1.6.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4)$

Schritt 5.4.1.1.6.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 (x^{2} - 4 x + 4)$

Schritt 5.4.1.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4$

Schritt 5.4.1.1.8

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1.1.8.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4$

Schritt 5.4.1.1.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 4 x^{2} - 28 x + 49 + 2 x^{2} - 8 x + 8$

Schritt 5.4.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.4.1.2.1

Addiere $4 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 6 x^{2} - 28 x + 49 - 8 x + 8$

Schritt 5.4.1.2.2

Subtrahiere $8 x$ von $- 28 x$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 6 x^{2} - 36 x + 49 + 8$

Schritt 5.4.1.2.3

Addiere $49$ und $8$ .

$x {(x - 2)}^{2} = 6 x^{2} - 36 x + 57$

Schritt 5.4.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.2.1

Subtrahiere $6 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x {(x - 2)}^{2} - 6 x^{2} = - 36 x + 57$

Schritt 5.4.2.2

Addiere $36 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x {(x - 2)}^{2} - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.3.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$x ((x - 2) (x - 2)) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.3.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.3.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.3.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$x (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.3.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$x (x^{2} - 4 x + 4) - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 4 - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 5.4.2.3.5.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.2.3.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.3.5.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- 4 x) + x \cdot 4 - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.3.5.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 2} + x (- 4 x) + x \cdot 4 - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.3.5.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{3} + x (- 4 x) + x \cdot 4 - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.3.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} - 4 x \cdot x + x \cdot 4 - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.3.5.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{3} - 4 x \cdot x + 4 \cdot x - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.3.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.2.3.6.1

Bewege $x$ .

$x^{3} - 4 (x \cdot x) + 4 \cdot x - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} + 4 \cdot x - 6 x^{2} + 36 x = 57$

$x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 6 x^{2} + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.4

Subtrahiere $6 x^{2}$ von $- 4 x^{2}$ .

$x^{3} - 10 x^{2} + 4 x + 36 x = 57$

Schritt 5.4.2.5

Addiere $4 x$ und $36 x$ .

$x^{3} - 10 x^{2} + 40 x = 57$

Schritt 5.4.3

Subtrahiere $57$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 10 x^{2} + 40 x - 57 = 0$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $x^{3} - 10 x^{2} + 40 x - 57$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 5.4.4.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 57, \pm 3, \pm 19$

$q = \pm 1$

Schritt 5.4.4.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 57, \pm 3, \pm 19$

Schritt 5.4.4.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 5.4.4.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{3} - 10 \cdot 3^{2} + 40 \cdot 3 - 57$

Schritt 5.4.4.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 - 10 \cdot 3^{2} + 40 \cdot 3 - 57$

Schritt 5.4.4.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$27 - 10 \cdot 9 + 40 \cdot 3 - 57$

Schritt 5.4.4.3.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $9$ .

$27 - 90 + 40 \cdot 3 - 57$

Schritt 5.4.4.3.5

Subtrahiere $90$ von $27$ .

$- 63 + 40 \cdot 3 - 57$

Schritt 5.4.4.3.6

Mutltipliziere $40$ mit $3$ .

$- 63 + 120 - 57$

Schritt 5.4.4.3.7

Addiere $- 63$ und $120$ .

$57 - 57$

Schritt 5.4.4.3.8

Subtrahiere $57$ von $57$ .

$0$

Schritt 5.4.4.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 10 x^{2} + 40 x - 57}{x - 3}$

Schritt 5.4.4.5

Dividiere $x^{3} - 10 x^{2} + 40 x - 57$ durch $x - 3$ .

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Schritt 5.4.4.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$10 x^{2}$

$40 x$

$57$

Schritt 5.4.4.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$

Schritt 5.4.4.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 5.4.4.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 5.4.4.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

Schritt 5.4.4.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$

Schritt 5.4.4.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 7 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$

Schritt 5.4.4.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$21 x$

Schritt 5.4.4.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 7 x^{2} + 21 x$

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$

Schritt 5.4.4.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$

Schritt 5.4.4.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$	-	$57$

Schritt 5.4.4.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $19 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$19$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$	-	$57$

Schritt 5.4.4.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$19$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$	-	$57$
							+	$19 x$	-	$57$

Schritt 5.4.4.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $19 x - 57$

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$19$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$	-	$57$
							-	$19 x$	+	$57$

Schritt 5.4.4.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$19$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$40 x$	-	$57$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$40 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$19 x$	-	$57$
							-	$19 x$	+	$57$
										$0$

Schritt 5.4.4.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 7 x + 19$

Schritt 5.4.4.6

Schreibe $x^{3} - 10 x^{2} + 40 x - 57$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 3) (x^{2} - 7 x + 19) = 0$

Schritt 5.4.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 7 x + 19 = 0$

Schritt 5.4.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 5.4.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 5.4.7

Setze $x^{2} - 7 x + 19$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.7.1

Setze $x^{2} - 7 x + 19$ gleich $0$ .

$x^{2} - 7 x + 19 = 0$

Schritt 5.4.7.2

Löse $x^{2} - 7 x + 19 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.4.7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 7$ und $c = 19$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 19)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.4.7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.7.2.3.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 19$ .

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Schritt 5.4.7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $19$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 76}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.7.2.3.1.3

Subtrahiere $76$ von $49$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.7.2.3.1.4

Schreibe $- 27$ als $- 1 (27)$ um.

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (27)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ um.

$x = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.7.2.3.1.7

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.4.7.2.3.1.7.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.7.2.3.1.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.7.2.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{7 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.7.2.3.1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{7 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{7 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.4.7.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{7 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.4.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x^{2} - 7 x + 19) = 0$ wahr machen.

$x = 3, \frac{7 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 3 i \sqrt{3}}{2}$