Algebra Beispiele

$\frac{x - x^{2}}{x^{3} - 1} \div \frac{x}{x^{2} + x + 1}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x - x^{2}}{x^{3} - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x}$

Schritt 2

Faktorisiere $x$ aus $x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1} - x^{2}}{x^{3} - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 - x^{2}}{x^{3} - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1 + x (- x)}{x^{3} - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x}$

Schritt 2.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- x)$ heraus.

$\frac{x (1 - x)}{x^{3} - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{x (1 - x)}{x^{3} - 1^{3}} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{x (1 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x (1 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x}$

Schritt 3.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{x (1 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (1 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x}$

Schritt 4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - x}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} (x^{2} + x + 1)$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + x + 1$ .

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $x^{2} + x + 1$ aus $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ heraus.

$\frac{1 - x}{(x^{2} + x + 1) (x - 1)} (x^{2} + x + 1)$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - x}{(x^{2} + x + 1) (x - 1)} (x^{2} + x + 1)$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - x}{x - 1}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 - x$ und $x - 1$ .

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Schritt 4.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1) - x}{x - 1}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- 1 (- 1) - (x)}{x - 1}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 1) - (x)$ heraus.

$\frac{- 1 (- 1 + x)}{x - 1}$

Schritt 4.3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 1 (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (x - 1)}{x - 1}$

Schritt 4.3.6

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$