Algebra Beispiele

$y = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$ um.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$

Schritt 2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})} = e^{y}$

Schritt 3

Schreibe $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $x + \sqrt{x^{2} + 1} = e^{y}$ um.

$x + \sqrt{x^{2} + 1} = e^{y}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{x^{2} + 1} = e^{y} - x$

Schritt 4.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Schritt 4.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} + 1)}^{1} = {(e^{y} - x)}^{2}$

Schritt 4.4.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} + 1 = {(e^{y} - x)}^{2}$

Schritt 4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.1

Vereinfache ${(e^{y} - x)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.1.1

Schreibe ${(e^{y} - x)}^{2}$ als $(e^{y} - x) (e^{y} - x)$ um.

$x^{2} + 1 = (e^{y} - x) (e^{y} - x)$

Schritt 4.4.3.1.2

Multipliziere $(e^{y} - x) (e^{y} - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 1 = e^{y} (e^{y} - x) - x (e^{y} - x)$

Schritt 4.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 1 = e^{y} e^{y} + e^{y} (- x) - x (e^{y} - x)$

Schritt 4.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 1 = e^{y} e^{y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

Schritt 4.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.1.3.1.1

Multipliziere $e^{y}$ mit $e^{y}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + 1 = e^{y + y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

Schritt 4.4.3.1.3.1.1.2

Addiere $y$ und $y$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

Schritt 4.4.3.1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - x (- x)$

Schritt 4.4.3.1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Schritt 4.4.3.1.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.1.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Schritt 4.4.3.1.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Schritt 4.4.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} + 1 x^{2}$

Schritt 4.4.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} + x^{2}$

Schritt 4.4.3.1.3.2

Subtrahiere $x e^{y}$ von $- e^{y} x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.3.1.3.2.1

Bewege $e^{y}$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - x e^{y} - x e^{y} + x^{2}$

Schritt 4.4.3.1.3.2.2

Subtrahiere $x e^{y}$ von $- x e^{y}$ .

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2}$

Schritt 4.5

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} = x^{2} + 1$

Schritt 4.5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} - x^{2} = 1$

Schritt 4.5.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + 0 = 1$

Schritt 4.5.2.2.2

Addiere $e^{2 y} - 2 x e^{y}$ und $0$ .

$e^{2 y} - 2 x e^{y} = 1$

Schritt 4.5.3

Subtrahiere $e^{2 y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$

Schritt 4.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$ durch $- 2 e^{y}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$ durch $- 2 e^{y}$ .

$\frac{- 2 x e^{y}}{- 2 e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Schritt 4.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x e^{y}}{- 2 e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Schritt 4.5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x e^{y}}{e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Schritt 4.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x e^{y}}{e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Schritt 4.5.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Schritt 4.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.4.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

Schritt 4.5.4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{2 y}$ und $e^{y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.4.3.1.2.1

Faktorisiere $e^{y}$ aus $- e^{2 y}$ heraus.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{- 2 e^{y}}$

Schritt 4.5.4.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.4.3.1.2.2.1

Faktorisiere $e^{y}$ aus $- 2 e^{y}$ heraus.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{e^{y} \cdot - 2}$

Schritt 4.5.4.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{e^{y} \cdot - 2}$

Schritt 4.5.4.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{- e^{y}}{- 2}$

Schritt 4.5.4.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y}}{2}$