Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$ als Gleichung.

$y = \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $x (1 + \frac{1}{x - 1})$ .

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$ mit $\frac{x (1 + \frac{1}{x - 1})}{x (1 + \frac{1}{x - 1})}$ .

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1})}{x (1 + \frac{1}{x - 1})} \cdot \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Schritt 2.1.2

Kombinieren.

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1}) (\frac{1}{x} - 1)}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) (1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \frac{1}{x} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) (- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Schritt 2.3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \frac{1}{x} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) (- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Schritt 2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) (- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}})}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \frac{1}{x - 1}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{1 + \frac{1}{x - 1}}$ in den Zähler.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \frac{- 1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Schritt 2.3.2.2

Faktorisiere $1 + \frac{1}{x - 1}$ aus $x (1 + \frac{1}{x - 1})$ heraus.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (1 + \frac{1}{x - 1}) x \frac{- 1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Schritt 2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (1 + \frac{1}{x - 1}) x \frac{- 1}{1 + \frac{1}{x - 1}}}$

Schritt 2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1}$

Schritt 2.4

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $x - 1$ .

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$y = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1}$

Schritt 2.4.2

Kombinieren.

$y = \frac{(x - 1) (1 + \frac{1}{x - 1} + x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + x \cdot - 1)}$

Schritt 2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{1}{x - 1} + (x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) (x \cdot - 1)}$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{(x - 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{1}{x - 1} + (x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) (x \cdot - 1)}$

Schritt 2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{(x - 1) \cdot 1 + 1 + (x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1)}{(x - 1) (x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) (x \cdot - 1)}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x \cdot x - 1 x) (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - 1 x) (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) (\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}) \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) \frac{x - 1 + 1}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.7.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) \frac{x + 0}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.7.2

Addiere $x$ und $0$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + (x^{2} - x) \frac{x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.8

Mutltipliziere $x^{2} - x$ mit $\frac{x}{x - 1}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{(x^{2} - x) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.9.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - x$ heraus.

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Schritt 2.7.9.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{(x \cdot x - x) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.9.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{(x \cdot x + x \cdot - 1) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.9.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 1$ heraus.

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x (x - 1) x}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.9.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.7.9.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{1} x (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.9.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{1} x^{1} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.9.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{1 + 1} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.9.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{2} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 2.7.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x - 1 + 1 + \frac{x^{2} (x - 1)}{x - 1} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.10.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 + x^{2} \cdot - 1}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.11

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 1 + 1 - 1 \cdot x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.12

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$y = \frac{x - 1 + 1 - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.13

Addiere $- 1$ und $1$ .

$y = \frac{x + 0 - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.14

Addiere $x$ und $0$ .

$y = \frac{x - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.15

Faktorisiere $x$ aus $x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.7.15.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{1} - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.15.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y = \frac{x \cdot 1 - x^{2}}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.15.3

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x \cdot 1 + x (- x)}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.7.15.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (- x)$ heraus.

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $(x - 1) x$ aus $(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 + (x - 1) x \cdot - 1$ heraus.

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Schritt 2.8.1.1

Faktorisiere $(x - 1) x$ aus $(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1$ heraus.

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) x \cdot - 1}$

Schritt 2.8.1.2

Faktorisiere $(x - 1) x$ aus $(x - 1) x \cdot - 1$ heraus.

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) x (- 1)}$

Schritt 2.8.1.3

Faktorisiere $(x - 1) x$ aus $(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1) + (x - 1) x (- 1)$ heraus.

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x ((1 + \frac{1}{x - 1}) \cdot 1 - 1)}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $1 + \frac{1}{x - 1}$ mit $1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x (1 + \frac{1}{x - 1} - 1)}$

Schritt 2.8.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + \frac{1}{x - 1} - 1$ .

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Schritt 2.8.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x (0 + \frac{1}{x - 1})}$

Schritt 2.8.3.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{x - 1}$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) x \frac{1}{x - 1}}$

Schritt 2.8.4

Kombiniere $\frac{1}{x - 1}$ und $x$ .

$y = \frac{x (1 - x)}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Schritt 2.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1 - x$ und $x - 1$ .

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Schritt 2.9.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y = \frac{x (- 1 (- 1) - x)}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Schritt 2.9.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{x (- 1 (- 1) - (x))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Schritt 2.9.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 1) - (x)$ heraus.

$y = \frac{x (- 1 (- 1 + x))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Schritt 2.9.4

Stelle die Terme um.

$y = \frac{x (- 1 (x - 1))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Schritt 2.9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x (- 1 (x - 1))}{(x - 1) \frac{x}{x - 1}}$

Schritt 2.9.6

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x \cdot (- 1)}{\frac{x}{x - 1}}$

Schritt 2.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = x (- 1) \frac{x - 1}{x}$

Schritt 2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x \cdot - 1 \frac{x - 1}{x}$

Schritt 2.11.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - (x - 1)$

Schritt 2.12

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - x - - 1$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - x + 1$